進位制

進位制^[1]（carry system）又稱進制^[2][3]、進位系統^[4]，是一種記數制度、系統或方法；利用這種「記數法」，可以使用有限種的「數字符號」來表示所有的數值。進位（carry）則是傳送進位數之動作或過程^[5]。

進位制，「進」表示在一個位值的數字達到基數後，將其重設為零並使高一位（位值）的數字加一。「位」代表位值（place value）。

進位制的其他名稱：位置記法^[6]（positional notation）、數字命位法^[7]、定位記法、進位記數法、位值記數法（place-value notation）、位置數值系統（positional numeral system）。

一種進位制中可以使用的數字符號的數目，稱為這種進位制的基數或底數。若一個進位制的基數為 ${\displaystyle n}$，即可稱之為 ${\displaystyle n}$進位制，簡稱 ${\displaystyle n}$進制。現在最常用的進位制是十進制，這種進位制通常使用10個阿拉伯數字（即 0-9 ）進行記數。^[8]

我們可以用不同的進位制來表示同一個數。比如：十進數57₍₁₀₎，可以用二進制表示為111001₍₂₎，也可以用五進制表示為212₍₅₎，同時也可以用八進制表示為71₍₈₎，可用十二進制表示為49₍₁₂₎，亦可用十六進制表示為39₍₁₆₎，它們所代表的數值都是一樣的。

在10進制中有10個數字（0 - 9），比如：

${\displaystyle 2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}}$.

在16進制中有16個數字（0–9 和 A–F），比如：

${\displaystyle 171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}}$ (16進制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般說來，${\displaystyle b}$進制有${\displaystyle b}$個數字，如果${\displaystyle a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}}$是其中四個數字，那麼就有

${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}}$ (注意，${\displaystyle a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ 表示一個數字序列, 而不是數字的相乘)

常見進位制及其用途

底/基數	名稱	描述
10	十進制	世界上最常見的算術運算位進制系統，它是2和5的乘積，用於大多數機械計數器。其十位數字為 「0-9」。
12	十二進制	因為有多個因數如2，3，4和6的易於整除性，它傳統上用以表示數量和總數，如一打即為十二個單位。十二位數字為「0-9」，接著是「A」和「B」。
20	二十進制	因為有多個因數如2，4，5和10的易於整除性，在幾種傳統文化中的數字系統，仍然被用於計數。二十位數字為「0-9」，接著是「A-J」。
2	二進制	幾乎所有的電子計算機內部都使用二進位制，分別為「0」和「1」表示「關」和「開」。用於大多數電子計數器。
16	十六進制	經常用於計算機領域，2到4次冪。十六位數字為「0-9」，接著是「A-F」。
8	八進制	偶爾用於計算機領域，2到3次冪。八位數字為「0-7」。
60	六十進制	起源於古代蘇美爾並傳給巴比倫人。六十成為3,4和5的乘積。今天用作現代圓形坐標系（度，分，秒）和時間測量（小時，分鐘和秒）的基礎。

八進位制和十六進位制系統通常用於電腦領域，因為它們可方便當作二進位制的簡寫。十六進位制數位對應於四位二進位制數位的序列，因為十六是二的四次方; 例如，十六進位制 78₁₆ 是二進制 1111000₂。八進位制數和二進位制的數位序列之間也有類似關係，因為八是二的立方。底數通常是自然數。 然而，其它位進制系統也是可能的。黃金比率底數（其底為非整數代 數）和負底數（其底為負數）。

參考文獻

1. 十進位制. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
2. 二進制. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
3. 二进制. 術語在線. 全國科學技術名詞審定委員會. （簡體中文）
4. 進位系統. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
5. 進位. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
6. 位置记法位. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
7. 數字命位法. 樂詞網. 國家教育研究院. （繁體中文）
8. 張彥;梁清華. 浅谈进位制. 《中學數學雜誌》2008年第12期. [2012-12-29]. （原始內容存檔於2014-07-14）.

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始內容存檔於2014-09-11）.
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007.
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3.
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始內容存檔於2016-05-05）.

參見

外部連結

• 進位轉換器（網頁版） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• From one to another number system （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）