群作用

數學上，對稱群描述物體的所有對稱性。這是通過群作用的概念來形式化的：群的每個元素作為一個對射（或者對稱作用）作用在某個集合上。在這個情況下，群稱為置換群（特別是在群有限或者不是線性空間時）或者轉換群（特別是當這個集合是線性空間而群作為線性轉換作用在集合上時）。一個群G的置換表示是群作為一個集合的置換群的群表示（通常該集合有限），並且可以表述為置換矩陣，一般在有限的情形作此考慮－這和作用在有序的線性空間基上是一樣的。

給定一個等邊三角形，通過把所有頂點映射到另一個頂點，繞三角形中心逆時針 120°旋轉「作用」在這個三角形的頂點的集合上。

定義

令 ${\displaystyle G}$ 為一個群， ${\displaystyle X}$ 為一個集合， ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的一個(左) 群作用 ${\displaystyle \alpha }$ 是一個二元函數

${\displaystyle \alpha :G\times X\rightarrow X}$

該函數滿足如下兩條公理：

1. 對所有 ${\displaystyle g,h\in G}$ 以及 ${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle \alpha (gh,x)=\alpha (g,\alpha (h,x))}$。
2. 對每個 ${\displaystyle x\in X}$ ，有 ${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$ ( ${\displaystyle e}$ 為群 ${\displaystyle G}$ 的單位元素)。

一般稱群 ${\displaystyle G}$ （在左邊）作用於集合 ${\displaystyle X}$ 上，或稱 ${\displaystyle X}$ 是一個 ${\displaystyle G}$-集合。

為簡化在群作用 ${\displaystyle \alpha }$ 上使用的符號，我們可以將其柯里化：令 ${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$ 為由單個元素 ${\displaystyle g}$ 給出的映射 ${\displaystyle x\mapsto \alpha (g,x)}$ ，這樣可以通過考慮函數集 ${\displaystyle \{\alpha _{g}\mid g\in G\}}$ 來研究群作用。上述兩條公理可以寫作

1. ${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$
2. ${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$

其中 ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}}$ 表示兩函數的複合。所以第二條公理說明函數的複合可以與群運算互相對應，它們可以組成一個交換圖表。該公理甚至可以簡寫為 ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$ 。

${\displaystyle \alpha (g,x)}$ 一般簡寫為 ${\displaystyle g\cdot x}$ 或 ${\displaystyle gx}$ 。

由上述兩條公理可知，對固定的元素 ${\displaystyle g\in G}$ ，從${\displaystyle X}$映射到${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto g\cdot x}$ 是一個對射（單射和滿射的條件可以分別通過考慮 ${\displaystyle g^{-1}}$ 和 ${\displaystyle e}$ 給出）。因此，也可以將 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的群作用定義為從 ${\displaystyle G}$ 到對稱群上${\displaystyle S_{X}}$ 的群同態。

右群作用

我們可以類似地定義一個 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的右群作用為函數${\displaystyle X\times G\rightarrow X}$，滿足以下公理：

1. ${\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}$
2. ${\displaystyle x\cdot e=x}$

注意左和右作用的區別僅在於像 ${\displaystyle gh}$ 這樣的積在 ${\displaystyle x}$ 上作用的次序。左群作用中， ${\displaystyle h}$ 先作用，然後才到 ${\displaystyle g}$ ，而對於右作用 ${\displaystyle g}$ 先作用，然後才到 ${\displaystyle h}$ 。右作用與群上的逆操作複合可以構造出一個左作用。如果 ${\displaystyle r}$ 為一右作用，則

${\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}$

是一左作用，因為

${\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}$

而

${\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}$

所以我們可以不失一般性地考慮左群作用。

群作用的種類

群G作用在集合X上的作用稱為:^[1]

遞移性(Transitive)

如果X是一個非空集合，對於每對數對 x,y ${\displaystyle \in }$ X，則存在一個g${\displaystyle \in }$G，使得${\displaystyle g\cdot x=y}$，我們就稱此作用為遞移性。

忠實性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置換群中，我們就稱此作用為忠實的。換言之，就是群G到X的置換群之中為單射。

自由性(Free)

如果給定 ${\displaystyle g,h\in G}$，存在${\displaystyle x\in X}$，則有著${\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}$，則稱為此作用為自由性。

正則的(Regular)

同時具有自由性以及遞移性的作用稱為正則的，又稱簡單遞移（英語：simply transitive）。

n-遞移性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 個元素, 對所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一個 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 對所有 1 ≤ k ≤ n ，我們就稱其為n-遞移性。

本原的(Primitive)

如果遞移性作用滿足只有trivial區塊(block)，那我們稱此作用為本原的。可以證明n-遞移性皆為本原的。

軌道與穩定化子

軌道

令群 ${\displaystyle G}$ 作用在集合 ${\displaystyle X}$ 上，對 ${\displaystyle X}$ 中的元素 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle G}$ 上的軌道是 ${\displaystyle X}$ 的子集，定義為

${\displaystyle \{g\cdot x\mid g\in G\}}$

記作 ${\displaystyle G\cdot x}$ 或 ${\displaystyle Gx}$ 。

集合 ${\displaystyle X}$ 的兩個軌道要麼相等，要麼完全不相交，因此軌道是集合的一個劃分。如果兩個軌道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 和 ${\displaystyle G\cdot y}$ 存在公共元素 ${\displaystyle a}$ ，那麼存在兩個 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle m}$ 和 ${\displaystyle n}$ ，使得 ${\displaystyle a=m\cdot x\in G\cdot x}$ ， ${\displaystyle a=n\cdot y\in G\cdot y}$ 。因而 ${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in G\cdot y}$ ，反之亦可推出 ${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in G\cdot x}$ ，所以兩個集合相等。

軌道的一個例子是陪集，假若 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的一個子集，且定義 ${\displaystyle G}$ 中元素的慣常運算規則為 ${\displaystyle H}$ 在${\displaystyle G}$ 上的一個作用，那麼 ${\displaystyle H}$ 的陪集 ${\displaystyle aH}$ (${\displaystyle a\in G}$)就是 ${\displaystyle a}$ 的軌道。

不變子集

令 ${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle X}$ 的一個子集，群 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle X}$ 上，對於群 ${\displaystyle G}$ 中的所有元素 ${\displaystyle g}$ ，以及所有 ${\displaystyle S}$ 中的元素 ${\displaystyle s}$ ，有 ${\displaystyle g\cdot s\in S}$，則我們會說 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle G}$ 的作用下是封閉的。

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一個元素，對於群${\displaystyle \mathrm {G} }$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$，那麼就稱${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$-不變的（${\displaystyle \mathrm {G} }$-invariant）。

不動點與穩定子群

令 ${\displaystyle g\in G}$ 和 ${\displaystyle x\in X}$ ，如果 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ ，則 ${\displaystyle x}$ 是關於 ${\displaystyle g}$ 的一個不動點。

對 ${\displaystyle X}$ 的元素 ${\displaystyle x}$ ，所有令 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle g}$ 構成的集合稱為 ${\displaystyle G}$ 關於 ${\displaystyle x}$ 的穩定子群，記作 ${\displaystyle G_{x}}$ 或 ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ 。

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$ 。

${\displaystyle G_{x}}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一個子群，因為根據定義${\displaystyle e\cdot x=x\in G_{x}}$，因此 ${\displaystyle G}$ 的單位元素 ${\displaystyle e}$ 在 ${\displaystyle G_{x}}$ 中。如果 ${\displaystyle m\in G_{x}}$ ，那麼${\displaystyle m}$的反元素${\displaystyle m^{-1}}$也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$的元素，因為${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$。

軌道－穩定點定理

軌道與穩定子群緊密相關。令群 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle X}$ 上，令 ${\displaystyle X}$ 中的 ${\displaystyle x}$ ，考慮映射 ${\displaystyle f:G\rightarrow X}$ ， ${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$ 。該映射的值域等於軌道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 。 ${\displaystyle G}$ 中的兩元素 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 的像 ${\displaystyle f(g)}$ 和 ${\displaystyle f(h)}$ 相同的條件是

${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G\cdot x\iff h\in gG\cdot x}$ 。

換言之， ${\displaystyle f(g)=f(h)}$ 若且唯若 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 在穩定子群 ${\displaystyle G_{x}}$ 的同一個陪集中。所以所有在軌道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 中的元素 ${\displaystyle y}$ 的原像都包含於某個陪集中，每個陪集的像亦為 ${\displaystyle X}$ 的一個單元素集合。因此 ${\displaystyle f}$ 事實上是 ${\displaystyle G_{x}}$ 的所有陪集與 ${\displaystyle X}$ 的元素的一一對應， ${\displaystyle f:G/G_{x}\rightarrow X}$ 是一個對射函數。

這個結論稱為軌道-穩定點定理，有

${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$

伯恩賽德引理

參見：伯恩賽德引理

而一個跟軌道-穩定點定理相似的結果就是伯恩賽德引理

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$

其中 ${\displaystyle X^{g}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 關於 ${\displaystyle g}$ 的穩定子群。 ${\displaystyle G}$ 和 ${\displaystyle X}$ 都有限時該引理尤其重要，可以被詮釋為「群作用的軌道數等於平均每個群元素的不動點的個數」。

西羅定理

主條目：西羅定理

範例

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定義為 g⋅x = x 對任意g屬於G以及任意x屬於X；換句話說，每個群元素對應 X上的恆等置換。^[2]

參考資料

1. Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.
2. Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.