連續映射定理

機率論中，連續映射定理（英語：Continuous mapping theorem）指出連續函數保持極限，即使其參數是一列隨機變數。

海涅定義下的連續函數是指將收斂數列映為收斂數列的函數：如果 ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ 那麼 ${\displaystyle g(x_{n})\rightarrow g(x)}$。連續映射定理指出，如果把確定的數列${\displaystyle \{x_{n}\}}$替換為一列隨機變數${\displaystyle \{x_{n}\}}$，把通常的收斂定義替換為某種隨機變數的收斂定義，那麼這個命題依然成立。 這個定理第一次由Mann & Wald (1943) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFMannWald1943 (幫助)證明，因此有時又被稱作Mann–Wald定理。^[1]

敍述

設${\displaystyle X_{n}\ (n=0,1,\ldots )}$和${\displaystyle X}$為度量空間${\displaystyle S}$中的隨機元素，又設${\displaystyle g:S\to S'}$為自${\displaystyle S}$至另一個度量空間${\displaystyle S'}$的函數，其不連續點集${\displaystyle D_{g}}$滿足${\displaystyle \mathbb {P} (X\in D_{g})=0}$，則：^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}}$

其中箭嘴上標的d、p、a.s.分別表示依分布收斂、依機率收斂、殆必收斂。