超橢圓 （英語：superellipse ）也稱為拉梅曲線 （Lamé curve ），是在笛卡兒坐標系 下滿足以下方程式的點的集合：
|
x
a
|
n
+
|
y
b
|
n
=
1
{\displaystyle |{\frac {x}{a}}|^{n}\!+|{\frac {y}{b}}|^{n}\!=1}
n = 0.5，a = b = 1的超橢圓n = 1.5，a = b = 1的超橢圓n = 4，a = b = 1的超橢圓，也稱為方圓形（Squircle）其中n 、a 及b 為正數。
上述方程式的解會是一個在−a ≤ x ≤ +a 及−b ≤ y ≤ +b 長方形 內的封閉曲線，參數a 及b 稱為曲線的半直徑 （semi-diameters ）。
n 在0和1之間時，超橢圓的圖形類似一個曲線的四角星，四邊的曲線往內凹。
n 為1時，超橢圓的圖形為一菱形 ，四個頂點為（±a , 0）及（0, ±b ）。n 在1和2之間時，超橢圓的圖形類似菱形 ，四個頂點位置相同，但四邊是往外凸 的曲線，越接近頂點，曲線的曲率 越大，頂點的曲率趨近無限大。
n 為2時，超橢圓的圖形即為橢圓 （若a = b 時則為一個圓形 ）。當n 大於2時，超橢圓的圖形看似四角有圓角 長方形 ，曲線的曲率在（±a , 0）及（0, ±b ）四點為0。n 為4的超橢圓也稱為方圓形 。
n < 2的超橢圓也稱為次橢圓 （hypoellipse ），n > 2的超橢圓則稱為過橢圓 （hyperellipse ）。
當n ≥ 1，且a = b =1時的超橢圓是二維Lp 空間 下的單位圓，n 即為其p-範數。
超橢圓的極點為（±a , 0）及（0, ±b ），而其四個「角」為（±sa, ±sb ），其中
s
=
2
−
1
n
{\displaystyle s=2^{-{\frac {1}{n}}}}
當n 為一個非零的有理數p /q （最簡分數形式），則超橢圓為一平面代數曲線 。若n 為正數，其曲線次數為pq ，若n 為負數，其曲線次數為2pq 。若a 和b 均為1且n 為偶數，則此超橢圓為一n 次的費馬曲線
超橢圓的動畫 超橢圓的參數方程 如下：
x
(
θ
)
=
±
a
cos
2
n
θ
y
(
θ
)
=
±
b
sin
2
n
θ
}
0
≤
θ
<
π
2
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}}
或
x
(
θ
)
=
|
cos
θ
|
2
n
×
a
sgn
(
cos
θ
)
y
(
θ
)
=
|
sin
θ
|
2
n
×
b
sgn
(
sin
θ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta }|^{\frac {2}{n}}\times a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin }\theta |^{\frac {2}{n}}\times b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}
超橢圓內的面積可以用Γ函數 Γ(x )來表示：
S
{\displaystyle \ S}
Γ
(
x
)
=
4
a
b
(
Γ
(
1
+
1
n
)
)
2
Γ
(
1
+
2
n
)
.
{\displaystyle \Gamma (x)=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}
其垂足曲線 較容易計算，而以下曲線的垂足曲線
(
x
a
)
n
+
(
y
b
)
n
=
1
{\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{n}\!+\left({\frac {y}{b}}\right)^{n}\!=1}
可以用極坐標方式來表示[ 1]
(
a
cos
θ
)
n
n
−
1
+
(
b
sin
θ
)
n
n
−
1
=
r
n
n
−
1
.
{\displaystyle (a\cos \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}+(b\sin \theta )^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\tfrac {n}{n-1}}.}
廣義的超橢圓，m ≠ n . 超橢圓可以延伸為以下的形式：
|
x
a
|
m
+
|
y
b
|
n
=
1
;
m
,
n
>
0.
{\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}
或
x
(
θ
)
=
|
cos
θ
|
2
m
⋅
a
sgn
(
cos
θ
)
y
(
θ
)
=
|
sin
θ
|
2
n
⋅
b
sgn
(
sin
θ
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}}
其中的
θ
{\displaystyle \theta }
不是 表示角度，只是方程式的一個參數。
超橢圓在笛卡兒坐標系下的表示式是由1795年出生的法國數學家加布里埃爾·拉梅 ，由橢圓的方程式擴展而得。
Zapf's Melior字體的'o'及'O'的輪廓可以用n = log(1/2) / log (7/9) ≈ 2.758的超橢圓來表示 字體設計師赫爾曼·察普夫 在1952年設計的Melior 字體 ，利用超橢圓作為字母o 的外形。三十年後高德納 設法選擇了介於橢圓及超橢圓之間的曲線（兩者都用樣條函數 近似），作為他的Computer Modern 字體。
1959年時瑞典斯德哥爾摩 提出了其市中心賽格爾廣場 圓環 的設計競賽。丹麥詩人皮亞特·海恩 (1905–1996)的設計以是一個n = 2.5，a /b = 6/5的超橢圓為基礎[ 2]
人是唯一一種會畫線然後將自己絆倒的動物。整個文明的推進有二個不同的取向：一種以直線及長方形為主，另一種則圓弧線為主。二種取向都有其機構上及心理上的原因。直線的事物可以放在一起，節省空間。而圓的東西很簡單，容易移動。但我們常常會陷入要在二者中選擇一個的困境，此時往往是介於二者中間的事物會更合適。隨意繪製的作品－例如以往在斯德哥爾摩出現過的圓環－無法達到這一點。它不是一個固定的形狀，也不像圓或方形有明確的定義，在美感上有所不足。超橢圓解決了這一個問題，它介於圓和長方形之間，既不是圓也不是長方形。它是一個有固定形狀、有明確定義的一個整體。 賽格爾廣場在1967年完成，而皮亞特·海恩繼續在其他的藝術品中使用超橢圓，包括牀、碟子、桌子等[ 3] 超級蛋
1968年在巴黎在為越戰 談判時，談判者不滿意談判桌的外形，Balinski、Kieron Underwood及Holt在一封寄給紐約時報 的信件中建議以超橢圓作為談判桌的外形[ 2] 墨西哥城 主辦奧運時，也以超橢圓為阿茲特克體育場 的外形。
沃爾多·托布勒 在1973年提出了托布勒超橢圓投影 [ 4] 經線 就是用超橢圓來表示。
美式足球 球隊匹茲堡鋼人 的標誌是三個相連的超橢圓。
星形線 ，n = 2/3，且a = b 的超橢圓，是四尖瓣的內擺線 。
方圓形 ，n = 4，且a = b 的超橢圓，看起來像是「正方形的輪子」。
超公式 超二次曲面 超橢圓曲線 Y n f (X )的曲線。
Gardner, Martin, Piet Hein’s Superellipse, Mathematical Carnival. A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American, New York: Vintage Press : 240–254, 1977, ISBN 978-0-394-72349-5 
