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統計學中,莫蘭指數(Moran's I)是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一種空間自相關度量。[1][2]空間自相關即空間中鄰近的位置之間存在相關性。空間自相關比一維自相關更複雜,因為空間相關性是多維的(即空間的二維或三維)和多方向的。
全局莫蘭指數(I)是對空間數據的整體聚集的度量,其定義如下:
其中:
I的值可能很大程度上依賴空間權重矩陣{wij}中的假設。之所以需要該矩陣,是因為在處理空間自相關和建立空間相互作用模型時,需要約束予以考慮的鄰居的數量。這與托布勒的地理學第一定律有關,該定律指出,所有事物都是相關的,但更接近的事物更相關——換句話說,該定律表明空間中存在距離衰減,儘管所有觀測值都對其他觀測值有影響,但在某個距離閾值後,其影響已經微弱得可以忽略不計。
其思路是構建一個矩陣,以準確地反映對討論的特定空間現象的假設。一種常見的做法是,如果兩個空間單元是鄰居,則權重為1,否則為0(但「鄰居」的定義可能會有所不同)。另一種常見的方法可能是給k個最近的鄰居賦予1的權重,其他為0。還有一種方法是使用距離衰減函數來分配權重。有時,共邊的長度用於為鄰居分配不同的權重。空間權重矩陣的選擇應以研究的相關現象的理論為指導。I的值對權重非常敏感,並且會影響對現象的結論,尤其是在使用距離時。
在不存在空間自相關的虛無假說下,莫蘭指數的期望值為:
對應該期望值的零分布是輸入遵循隨機均勻地選取的排列。
在大樣本量下(即N趨於無窮大時),期望值接近於零。
其變異數等於
其中
I的值通常在−1到+1之間。顯著低於-1/(N-1)的值表示空間負相關(分散),顯著高於-1/(N-1)的值表示空間正相關(集聚)。對於統計假說檢定,莫蘭指數的值可以轉換為Z-分數。
莫蘭指數與吉爾里C數成負相關,但並不完全等同。莫蘭指數是全局空間自相關的度量,而吉爾里C數對局部空間自相關更敏感。
全局空間自相關分析只能得到一個概括整個研究區域的一個統計量。換句話說,全局分析假設空間是相對均質的。若該假設不成立,那麼只有一個統計數據是意義不大,因為統計數據在空間上應該是不同的。
而且,即使不存在全局自相關或聚類,我們仍然可能通過局部空間自相關分析,在局部層面上找到聚類。「空間關聯的局部指標」(local indicators of spatial association,LISA)利用莫蘭指數是叉積總和這一事實,通過計算每個空間單元的局部莫蘭指數並評估每個Ii的統計顯著性來評估這些個體單元的聚類。局部莫蘭指數最早由盧卡·安瑟林於1995年提出。[4]由全局莫蘭指數的等式可導出:
其中:
因此,
I為衡量全局空間自相關性的全局莫蘭指數,Ii為局部莫蘭指數,N為地圖中分析單元的總數。
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