胡爾維茲定理
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在代數學中,胡爾維茲定理(又名「1,2,4,8定理」)是以在1898年證明它的阿道夫·胡爾維茲命名。該定理表明:任何帶有單位元的賦範可除代數同構於以下四個代數之一:R,C,H和O,分別代表實數、複數、四元數和八元數。[1][2]對實賦範可除代數的分類始於弗洛比紐斯[3] ,發揚於胡爾維茲[4],由佐恩整理為一般形式[5]。一個簡短的歷史摘要可見Badger[6]。
完整的證明能在凱特和索洛多斯尼科夫[7]或者夏皮羅[8]處找到。一個基本的想法是,如果一個代數A是成正比於1的,那麼它同構於實數。否則,我們使用凱萊-迪克森結構擴展子代數以同構於1,並引入一個向量正交於1。此子代數是同構於複數的。如果它不是A的全體,那麼我們再次使用凱萊-迪克森結構和另一個與複數正交的向量,得到一個與四元數同構的子代數。如果這還不是不是A的全體,我們重複以上行為一次,並得到同構於凱萊數(或八元數)的子代數。我們現在有一個定理,說的是每一個包含1而又不是A自身的子代數是結合的。凱萊數不是結合的,因此必須為A。
胡爾維茲定理也可以用於證明n個平方和與n個平方和的積仍可以寫成n個平方和僅當n為1,2,4或者8時[9]。