線性關係

在現代學術界中，線性關係一詞存在2種不同的含義。其一，若某數學函數或數量關係的函數圖形呈現為一條直線或線段，那麼這種關係就是一種線性的關係。其二，在代數學和數學分析學中，如果一種運算同時滿足特定的「加性」和「齊性」，則稱這種運算是線性的。

定義

如果稱一個數學函數${\displaystyle L(x)}$為線性的，可以是指：

• 定義1：${\displaystyle L(x)}$是個只擁有一個變數的一階多項式函數，即是可以表示為${\displaystyle L(x)=kx+b}$ 的形式（其中${\displaystyle k,b}$為常數）。
• 定義2：${\displaystyle L(x)}$具有以下兩個性質：
  • 可加性：${\displaystyle L(x+t)=L(x)+L(t)}$
  • 一次齊次性：${\displaystyle L(mx)=mL(x)}$

需要注意這2種定義分別描述的是2類不同的事物。研究高等數學的數學家一般只認定義2（有例外，如高等數學「線性回歸」理論中「線性函數」概念的定義），但初等數學和許多非數學學科的書籍會習慣把定義1當作線性關係的概念（有的沒有明確給出定義，但確是如此理解和使用的）。這種術語間的細微差異如果不注意的話，就容易引起混淆。^[1]

定義1的定義動機是把函數圖像為直線的數量關係稱作線性的關係。從這種幾何意義出發，定義1本來不具有對多元函數進行推廣的必要，因為形如${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=k_{1}*x_{1}+k_{2}*x_{2}+...+k_{n}*x_{n}+b}$的函數（其中各個${\displaystyle k_{i}}$和${\displaystyle b}$均為常數）的圖形根本不是直線，而是平面或超平面，因此也就談不上「線」性了。但還是有這種做法出現，如有「多元線性方程組」的叫法^[2]（叫「多元超平面方程組」可能更合適）。

但是，如果只考慮二維實數平面，則定義1可藉由坐標移軸之後而符合定義2的型式。故要視定義1.為線性，實質上需要嚴格的限制條件，或者說，定義1其實是由定義2在受到某些條件限制下所產生的變化形式。

例子

• 按照定義1，一次函數描述的都是不同變量間的線性的數量關係。而高次函數描述的都不是線性的數量關係。比如${\displaystyle y_{1}=3x}$，${\displaystyle y_{2}={\frac {1}{3}}x}$和${\displaystyle y_{3}=3x+1}$都屬於這種意義下的線性函數，但${\displaystyle y_{4}=x^{2}}$，${\displaystyle y_{5}=x+z}$，${\displaystyle y_{6}=x+z+2}$和${\displaystyle y_{7}=xz}$則不是。（如果將這種意義下的「線性」概念推廣到多元函數，則${\displaystyle y_{6}}$也能算。事實上，「多元線性回歸」中的「線性」指的就是這種線性。）
• 而按照定義2，若以一元函數為例，則截距為0的一次函數（即正比例函數）屬於線性函數，但截距不為0的一次函數不屬於線性函數。又如${\displaystyle y_{1}=3x}$，${\displaystyle y_{2}={\frac {1}{3}}x}$和${\displaystyle y_{5}=x+z}$都屬於這種意義下的線性函數，但${\displaystyle y_{3}=3x+1}$，${\displaystyle y_{4}=x^{2}}$，${\displaystyle y_{6}=x+z+2}$和${\displaystyle y_{7}=xz}$都不是。

數學

參見：線性函數

在初等數學中（主要是與方程組及一次函數有關的理論），使用的是定義1。

但在高等數學（尤其是純數學）中所說的線性一般是用定義2來給出定義。如對線性相關和線性變換的定義。但初等數學中有關「線性」的一些習慣術語也然在高等數學沿用，如線性回歸。

物理

在物理學中，線性的2種含義都有出現。「線性」如果是源於形容圖像的形狀，則其含義按定義1理解。比如線性元件的概念。^[3]一般在需要作圖的實驗物理學中會經常遇到這種含義，尤其是中學物理。^{[4][5][6][7][8][9]}「線性」如果是涉及數學分析學（比如說高等線性代數（即線性泛函分析）或微分方程理論）的概念，則其含義按定義2理解。一般在用到較多高深數學的理論物理學中會經常遇到這種含義。

應用

直線的圖像容易分辨。斜率和截距通常也是變量的函數，通過測定斜率和截距，可以推知一些主要變量的數值。對於某些非直線的函數關係，比如${\displaystyle y=k*x^{2}}$（假定${\displaystyle k}$是未知的常係數），如果要驗證實驗所得的數據是否符合該非線性關係式，直接描點連線作圖是難以直觀地判斷出數據與假設關係式的接近程度的（畫出來是個拋物線）。這時可以嘗試使用變量替換的方法，把非線性關係轉換為線性關係，從而便於作圖，也便於判斷。對等式兩邊同時取對數可得${\displaystyle \log {y}=\log {(k*x^{2})}\rightarrow \log {y}=\log {k}+2*\log {x}}$，作代換${\displaystyle y_{1}=\log {y},x_{1}=\log {x},b=\log {k}}$，則可得${\displaystyle y_{1}=b+2*x_{1}}$。這時再作圖，就容易看出數據和假設模型的偏離程度，還可以根據截距b估算出參數k的數值。這種將非線性關係轉換為線性關係後再作圖的方法只適用於少數函數，但因為作圖的結果一目了然，所以是一種重要的數據處理方法。

另見

• 非線性關係

腳註與參考資料

腳註

1. 在一些非數理類的期刊上，偶爾能看到確實有文獻把兩者混為一談了。如見杜傑。
2. 何思謙 (總主編). 数学辞海 1 第1版. 山西教育出版社,中國科學技術出版社,東南大學出版社. 2002年: 108. ISBN 7504633259.
3. 梁燦彬 2004，第125頁（位於第4章「恆定電流和電路」第3節「歐姆定律和焦耳定律」）上寫「滿足歐姆定律的元器件的伏安特性曲線顯然是過原點的直線。伏安特性曲線是直線的元器件叫線性元件。」梁燦彬 2004，第297頁（位於第7章「磁介質」第3節「鐵磁性與鐵磁質」）上寫「這條曲線的顯著特點是它的非直線性（簡稱非線性）。」趙凱華 2003，第308頁（位於第5章「電路」第2節「各種導體的導電機制」）上寫「一些半導體（如電晶體）或氣態導體（如日光燈中的汞蒸氣），歐姆定律不成立，其伏安特性曲線不是直線，而是不同形狀的曲線。這種元件叫非線性元件。」
4. 胡先進. 高考实验题中的线性图像处理数据. 物理教學探討 (中國知網). 2013年, (02期). （原始內容存檔於2020-09-24） （中文（中國大陸））. 作線性變換不僅是由於直線容易描繪，更重要的是直線的斜率和截距所包含的物理信息可以用來求取一些相關的物理量。
5. 盛雲生. 高中物理实验中线性关系的建立与应用. 物理通報 (中國知網). 2012年, (12期) （中文（中國大陸））.
6. 陳春天, 魏瑋. 金属电阻-温度线性关系准确度条件. 大學物理實驗. 1997年, (01期) （中文（中國大陸））.
7. 臧立志. 线性函数的平均值在高中物理中的应用. 物理教師. 2010, (31(4)): 57–58 （中文（中國大陸））.
8. 沈志斌. 中学物理中非线性问题及其处理方法. 中學物理教學參考. 2002年, (06期). （原始內容存檔於2020-09-24） （中文（中國大陸））.
9. 萬俊峰. 高中物理中的"非线性关系"问题的探讨. 試題與研究：新課程論壇. 2010, (11期) （中文（中國大陸））.

腳註所引資料

• 杜傑, 劉啟華. 非线性科学的回顾. 南京工業大學學報 (中國社會科學院官方網站). 2004年, (02期). （原始內容存檔於2016-08-09） （中文（中國大陸））. 所謂線性，是指量與量之間的關係用直角坐標系形象地表示出來時是一條直線。在數學上，主要通過對算子的描述來討論系統的線性與否... 線性系統中部分之和等於整體，描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解。
• 梁燦彬, 秦光戎, 梁竹健. 电磁学. 普通物理學教程 第2版. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-04-013840-9 （中文（中國大陸））.
• 趙凱華, 陳熙謀. 电磁学. 新概念物理教程 第1版. 高等教育出版社. 2003. ISBN 7-04-011693-6 （中文（中國大陸））.