在範疇論中,米田引理斷言一個對象 X {\displaystyle X} 的性質由它所表示的函子 H o m ( X , − ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (X,-)} 或 H o m ( − , X ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)} 決定。此引理得名於日本數學家暨計算機科學家米田信夫。 設 C {\displaystyle {\mathcal {C}}} 為一範疇,定義兩個函子範疇如下: C ∧ := F c t ( C , S e t ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )} C ∨ := F c t ( C o p , S e t ) {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )} 並定義兩個函子: h C ( X ) = h X := H o m C ( − , X ) {\displaystyle h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)} k C ( X ) = k X := H o m C ( X , − ) {\displaystyle k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)} 其中 h C : C → C ∧ {\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }} 而 k C : C → C ∨ {\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }} 。 米田引理的抽象陳述如下: 米田引理。有自然的同構 ∀ X ∈ C , A ∈ C ∧ H o m C ∧ ( h X , A ) ≃ A ( X ) {\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)} ∀ X ∈ C , B ∈ C ∨ H o m C ∨ ( k X , B ) ≃ B ( X ) {\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)} 這兩個同構對所有變元 A , B , X {\displaystyle A,B,X} 都滿足函子性。 對任一對象 Y ∈ C {\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}} ,在上述同構中分別取 A = h Y , B = k Y {\displaystyle A=h_{Y},B=k_{Y}} ,便得到米田引理最常見的形式: 推論。函子 h C : C → C ∧ {\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }} 與 k C : C → C ∨ {\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }} 是完全忠實的。 更多資訊:可表函子 由上述推論,範疇中的對象 X {\displaystyle X} 由它所表示的函子 h X {\displaystyle h_{X}} 或 k X {\displaystyle k_{X}} 唯一確定(至多差一個同調),這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中,一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子,後者往往具有直觀的幾何詮釋,技術上亦較容易處理;另一方面,我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題,第一步是定義適當的「函子解」,其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。 Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490 Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for Firefox
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