加法反元素

加法反元素（additive inverse）又稱相反數（opposite）、反數，其定義是對於任意數${\displaystyle a}$，存在相反數滿足其與${\displaystyle a}$的和為零（加法單位元素）；${\displaystyle a}$ 的加法反元素表示為 ${\displaystyle -a}$。

在實數中，數${\displaystyle a}$的相反數${\displaystyle -a}$，稱為其加法反元素；相對地，數${\displaystyle a}$的倒數${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$或${\displaystyle a^{-1}}$，則稱為其乘法反元素。

一般定義

設「+」為一個交換性的二元運算，即對於所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle x+y=y+x}$。若該集合中存在一個元素${\displaystyle 0}$，使得對於所有${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x+0=0+x=x}$，則此元素是唯一的。如果對於一個給定的${\displaystyle x}$，存在一個${\displaystyle x'}$使得${\displaystyle x+x'=x'+x=0}$，則稱${\displaystyle x'}$是${\displaystyle x}$的加法反元素。

特殊情況

定義

若「+」滿足結合律，則任意數的加法反元素是唯一的。

證明

反證法： 設${\displaystyle x}$有兩個相異的加法反元素${\displaystyle x_{1}}$、${\displaystyle x_{2}}$
有${\displaystyle x=x+0}$ 的關係。
⇒ ${\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}}$
⇒ ${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$
產生矛盾，證訖。

例

• 向量空間：純量乘法${\displaystyle -1}$
• 歐幾里得空間：以原點為中心的反演變換

參考文獻