狄利克雷L函數

在數學中，狄利克雷L函數是狄利克雷級數的特例，它是形如下式的複變數函數

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

在此 ${\displaystyle \chi }$ 是一個狄利克雷特徵，${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ 的實部大於一。此函數可解析延拓為整個複平面上的亞純函數。

約翰·彼得·狄利克雷證明對所有 ${\displaystyle \chi }$ 具有 ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$，並藉此證明狄利克雷定理。若 ${\displaystyle \chi }$ 是主特徵，則 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ 在 ${\displaystyle s=1}$ 有單極點。

零點

• 若 ${\displaystyle \chi }$ 是原特徵，${\displaystyle \chi (-1)=1}$，則 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ 在 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0}$ 的零點是負偶數。
• 若 ${\displaystyle \chi }$ 是原特徵，${\displaystyle \chi (-1)=-1}$，則 ${\displaystyle L(s,\chi )}$ 在 ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)<0}$ 的零點是負奇數。

不論可能的西格爾零點，狄利克雷L函數有與黎曼ζ函數相似的無零點區域，包括 ${\displaystyle \{s:\mathrm {Re} (s)\geq 1\}}$。一如黎曼ζ函數，狄利克雷L函數也有相應的廣義黎曼猜想。

函數方程

假設 ${\displaystyle \chi }$ 是模 ${\displaystyle k}$ 的原特徵。定義

${\displaystyle \Lambda (s,\chi )=\left({\frac {\pi }{k}}\right)^{-(s+a)/2}\Gamma \left({\frac {s+a}{2}}\right)L(s,\chi ),}$

此處 ${\displaystyle \Gamma }$ 表Γ函數，而符號 ${\displaystyle a}$ 由下式給出

${\displaystyle a={\begin{cases}0,&\quad \chi (-1)=1,\\1,&\quad \chi (-1)=-1,\end{cases}}}$

則有函數方程

${\displaystyle \Lambda (1-s,{\overline {\chi }})={\frac {i^{a}k^{1/2}}{\tau (\chi )}}\Lambda (s,\chi ).}$

此處的 ${\displaystyle \tau (\chi )}$ 表高斯和

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\chi (n)\exp(2\pi in/k).}$

我們亦有 ${\displaystyle |\tau (\chi )|=k^{\frac {1}{2}}}$。

文獻

• H. Davenport. Multiplicative Number Theory. Springer. 2000. ISBN 0-387-95097-4.