在累積機率分布函數與特徵函數之間存在對射。也就是說,兩個不同的機率分布不能有相同的特徵函數。
給定一個特徵函數φ,可以用以下公式求得對應的累積機率分布函數:
- 。
一般地,這是一個廣義積分;被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的,也就是說,它的絕對值的積分可能是無窮大。[1]
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分布
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特徵函數
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退化分布
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伯努利分布
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二項分布
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負二項分布
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卜瓦松分布
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連續均勻分布
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拉普拉斯分布
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常態分布
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卡方分布 k
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柯西分布
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伽瑪分布
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指數分布
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多元常態分布
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多元柯西分布 [2]
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Close
Oberhettinger (1973) 提供的特徵函數表.
由於連續定理,特徵函數被用於中央極限定理的最常見的證明中。
具有尺度母數和形狀母數k的伽瑪分布的特徵函數為:
- 。
現在假設我們有:
- 且
其中和相互獨立,我們想要知道的分布是什麼。和特徵函數分別為:
根據獨立性和特徵函數的基本性質,可得:
- 。
這就是尺度母數為、形狀母數為的伽瑪分布的特徵函數,因此我們得出結論:
- ,
這個結果可以推廣到個獨立、具有相同尺度母數的伽瑪隨機變數:
- 。
如果是一個平均值為零的多元高斯隨機變數,那麼:
其中表示正定矩陣 Σ的行列式。
P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166
Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
- Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
- Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science