絕熱指數

絕熱指數（英語：adiabatic index）是指等壓熱容（${\displaystyle C_{P}}$）和等容（等體積）熱容（${\displaystyle C_{V}}$）的比值，也稱為熱容比（英語：heat capacity ratio）、比熱比（英語：specific heat ratio）或絕熱膨脹係數（英語：isentropic expansion factor），常用符號${\displaystyle \gamma }$或${\displaystyle \kappa }$表示。後者常在化學工程領域中使用，在機械工程領域中，會使用字母K表示絕熱指數^[1]：

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{v}}}={\frac {c_{P}}{c_{v}}}}$

其中，${\displaystyle C}$是氣體的熱容，${\displaystyle c}$是氣體比熱容，而下標${\displaystyle P}$及${\displaystyle v}$分別表示在等壓條件及等體積條件下的結果。

絕熱指數也可表示為以下的形式

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P,m}}{C_{v,m}}}}$

其中，${\displaystyle C_{P,m}}$是氣體的等壓摩爾熱容，也就是一摩爾氣體的等壓熱容，${\displaystyle C_{v,m}}$是氣體的等容摩爾熱容。

絕熱指數也是理想氣體在等熵過程（準靜態、可逆的絕熱過程）下的多方指數，即以下體積和壓強關係式中體積的次方：

${\displaystyle pV^{\gamma }={\text{const}}}$

其中 ${\displaystyle p}$ 是壓力而 ${\displaystyle V}$ 是體積。

理想氣體的絕熱指數

理想氣體的熱容不隨溫度變化。焓及內能分別為${\displaystyle H=C_{p}T}$及${\displaystyle U=C_{V}T}$。因此絕熱指數也可以視為是焓及內能的比值：

${\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}}$

理想氣體的定壓莫耳熱容及定容莫耳熱容及氣體常數（${\displaystyle R}$）之間有以下的關係

${\displaystyle C_{p,m}-C_{V,m}=R\!}$

因此莫耳熱容也可以用絕熱指數（${\displaystyle \gamma }$）及氣體常數表示：

${\displaystyle C_{p,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{,}}\qquad C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}}}$

和自由度的關係

理想氣體分子的原子數和等容摩爾熱容（${\displaystyle C_{V,m}}$）、等壓摩爾熱容（${\displaystyle C_{p,m}}$）及絕熱指數${\displaystyle \kappa }$之間的關係

	${\displaystyle C_{V,m}}$	${\displaystyle C_{p,m}}$	${\displaystyle \kappa ={\frac {C_{p,m}}{C_{V,m}}}}$
單原子氣體	${\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {5}{3}}=1.{\overline {6}}}$
雙原子氣體	${\displaystyle {\frac {5}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {7}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {7}{5}}=1.4}$
三原子氣體	${\displaystyle {\frac {6}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {8}{2}}\cdot R}$	${\displaystyle {\frac {4}{3}}=1.{\overline {3}}}$

理想氣體的絕熱指數（${\displaystyle \gamma }$）和分子的自由度之間，有以下的關係：

${\displaystyle \gamma \ ={\frac {f+2}{f}}\qquad {\mbox{, }}\qquad f={\frac {2}{\gamma -1}}}$

單原子氣體的自由度是3，因此絕熱指數為：

${\displaystyle \gamma \ ={\frac {5}{3}}\approx 1.67}$,

雙原子氣體，在室溫下的自由度為5（平移自由度3，旋轉自由度2，室溫下不考慮振動自由度），因此絕熱指數為：

${\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1.4}$.

空氣主要由雙原子氣體組成，包括約78%的氮氣（N₂）及約21%的氧氣（O₂），室溫下的乾燥空氣可視為理想氣體，因此其絕熱指數為：

${\displaystyle \gamma ={\frac {5+2}{5}}={\frac {7}{5}}=1.4}$.

以上數據和實際量測而得的數據1.403相當接近。

熱力學的關係

在一些特定的工程應用中（如計算氣體經過導管或閥的流速），${\displaystyle C_{p}-C_{v}=nR}$（n為莫耳數）的關係不夠準確，因此定體積熱容${\displaystyle C_{v}}$需要由實測求得，若依下式計算定體積熱容${\displaystyle C_{v}}$，即得求得精確的絕熱指數${\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{v}}}}$：

${\displaystyle C_{p}-C_{v}\ =\ -T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}\ =\ -T{\frac {{\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)}^{2}}{\frac {\partial P}{\partial V}}}}$

其中${\displaystyle C_{p}}$的數值可以由查表求得。

上述的定義可由來推導嚴謹的狀態方程式（例如Peng-Robinson狀態方程式），這些方程式所求得的值和實測值非常接近，因此定體積熱容或絕熱指數可直接用方程式計算，不需查表。也可以利用有限差分法來計算其數值。

各種氣體的絕熱指數

各種氣體的絕熱指數[2][3]
溫度	氣體	γ		溫度	氣體	γ		溫度	氣體	γ
−181°C	H2	1.597		200°C	乾空氣	1.398		20°C	NO	1.400
−76°C		1.453		400°C		1.393		20°C	N2O	1.310
20°C		1.410		1000°C		1.365		−181°C	N2	1.470
100°C		1.404		2000°C		1.088		15°C		1.404
400°C		1.387		0°C	CO2	1.310		20°C	Cl2	1.340
1000°C		1.358		20°C		1.300		−115°C	CH4	1.410
2000°C		1.318		100°C		1.281		−74°C		1.350
20°C	He	1.660		400°C		1.235		20°C		1.320
20°C	H2O	1.330		1000°C		1.195		15°C	NH3	1.310
100°C		1.324		20°C	CO	1.400		19°C	Ne	1.640
200°C		1.310		−181°C	O2	1.450		19°C	Xe	1.660
−180°C	Ar	1.760		−76°C		1.415		19°C	Kr	1.680
20°C		1.670		20°C		1.400		15°C	SO2	1.290
0°C	乾空氣	1.403		100°C		1.399		360°C	Hg	1.670
20°C		1.400		200°C		1.397		15°C	C2H6	1.220
100°C		1.401		400°C		1.394		16°C	C3H8	1.130

參照

• 熱容
• 比熱容
• 音速
• 熱力學方程式（英語：Thermodynamic equations）
• 熱力學
• 容積熱容

參考

1. Robert W. Fox, Philip J. Pritchard and Alan T. McDonald. Introduction to Fluid Mechanics 6th. Wiley. 2008. ISBN 9780471202318.
2. White, Frank M.: Fluid Mechanics 4th ed. McGraw Hill
3. Lange's Handbook of Chemistry, 10th ed. page 1524