法圖引理

在測度論中，法圖引理說明了一個函數列的下極限的積分（在勒貝格意義上）和其積分的下極限的不等關係。法圖引理的名稱來源於法國數學家皮埃爾·法圖（Pierre Fatou），被用來證明測度論中的法圖-勒貝格定理和勒貝格控制收斂定理。

敘述

設${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$為一個測度空間， ${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$是一個實值的可測正值函數列。那麼：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

其中的函數極限是在逐點收斂的意義上的極限，函數的取值和積分可以是無窮大。

證明

定理的證明基於單調收斂定理（非常容易證明）。設${\displaystyle f}$為函數列${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$ 的下極限。對每個正整數${\displaystyle k}$，逐點定義下極限函數：

${\displaystyle g_{k}=\inf _{n\geq k}f_{n}.}$

於是函數列${\displaystyle g_{1},g_{2},\ldots }$單調遞增並趨於${\displaystyle f}$ 。

任意${\displaystyle k\leq n}$，我們有${\displaystyle g_{k}\leq f_{n}}$，因此

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \int _{S}f_{n}\,d\mu ,}$

於是

${\displaystyle \int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

據此，由單調收斂定理以及下極限的定義，就有：

${\displaystyle \int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{S}g_{k}\,d\mu \leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\int _{S}f_{n}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

反向法圖引理

令${\displaystyle (f_{n})}$為測度空間${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$中的一列可測函數，函數的值域為擴展實數（包括無窮大）。如果存在一個在 ${\displaystyle S}$上可積的正值函數${\displaystyle g}$，使得對所有的${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f_{n}\leq g}$，那麼

${\displaystyle \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \geq \limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .}$

這裡${\displaystyle g}$只需弱可積，即${\displaystyle \textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty }$。

證明：對函數列${\displaystyle (g-f_{n})}$應用法圖引理即可。

推廣

推廣到任意實值函數

法圖引理不僅對取正值的函數列成立，在一定限制條件下，可以擴展到任意的實值函數。令${\displaystyle (f_{n})_{n\geq 0}}$為測度空間${\displaystyle (S,\Sigma ,\mu )}$中的一列可測函數，函數的值域為擴展實數（包括無窮大）。如果存在一個在${\displaystyle S}$上可積的正值函數${\displaystyle g}$，使得對所有的${\displaystyle n}$都有${\displaystyle f_{n}\geq g}$，那麼

證明：對函數列${\displaystyle \scriptstyle (f_{n}-g)}$應用法圖引理即可。

逐點收斂

在以上的條件下，如果函數列在${\displaystyle S}$上μ-幾乎處處逐點收斂到一個函數${\displaystyle \scriptstyle f}$，那麼

${\displaystyle \int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

證明：${\displaystyle \scriptstyle f}$是函數列的極限，因此自然是下極限。此外，零測集上的差異對於積分值沒有影響。

依測度收斂

如果函數列在${\displaystyle S}$上依測度收斂到${\displaystyle f}$，那麼上面的命題仍然成立。

證明：存在${\displaystyle \scriptstyle (f_{n})}$的一個子列使得

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.}$

這個子列仍然依測度收斂到${\displaystyle \scriptstyle f}$，於是又存在這個子列的一個子列在${\displaystyle S}$上μ-幾乎處處逐點收斂到${\displaystyle f}$，於是命題成立。

外部連結

• 法图引理. PlanetMath.

參考來源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.