泊松李群

泊松李群 (Poisson-Lie group) 是一種幾何結構，也是李群和泊松流形，而且兩種結構自洽。它的李群直積 ${\displaystyle G\times G\longrightarrow G}$是泊松映射。它是經典力學和泊松幾何學的有力的例子，也是表示論研究對象之一。 它在無窮小尺度的形式就是李雙代數。

定義

泊松-李群是一個具有泊松括號的李群 ${\displaystyle G}$，其群乘法定義為 ${\displaystyle \mu :G\times G\to G}$，其中 ${\displaystyle \mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}}$ 為泊松映射，其中流形 ${\displaystyle G\times G}$ 賦予了乘積泊松流形的結構。

對於泊松李群，以下等式恆成立：

${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g'},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)}$

其中約定 ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ 是定義在泊松李群上的實數值的光滑函數，${\displaystyle g,g'}$為群中任意的元素，${\displaystyle L}$ 為元素的左乘，${\displaystyle R}$ 為元素的右乘。

記 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 為泊松李群 ${\displaystyle G}$ 對應的泊松雙向量（Poisson bivector），上述恆等式有等價形式：

${\displaystyle {\mathcal {P}}(gg')=L_{g*}({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'*}({\mathcal {P}}(g))}$

特別的，如果取 ${\displaystyle g=g'=e}$ , 以上等式即為 ${\displaystyle {\mathcal {P}}(e)=\{f,g\}(e)=0}$ 。對單位元 ${\displaystyle e}$ 使用韋恩斯坦分裂定理 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Weinstein splitting theorem），可得知非平凡的泊松李群一定不具有辛結構，甚至不具有恆定的秩。

參考書目

• Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley: A Guide to Quantum Groups, ISBN 0-521-55884-0