歐幾里得數

歐幾里得數都是整數，其形式為E_n = p_n${\displaystyle \#}$ + 1，其中p_n${\displaystyle \#}$ 是p_n的質數階乘 。命名是由古希臘數學家歐幾里德來命名。

人們有時錯誤地說，歐幾里德的著名的歐幾里得定理:證明質數是無限的需要依賴於這些數字。^[1]事實上，歐幾里德的證明並沒有假設一個有限集合包含的所有質數的存在。相反，他說：

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

^[2]

意思是：考慮任何質數的有限集合（不一定是前n個質數，例如，它可能是集合{3，11，47}），然後從這兩個方面得到這樣的結論：至少存在一個質數不是在該集合。[1] （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）^[3].^[4]

前幾個歐幾里得數是為:

3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511 （OEIS數列A006862）.

目前還不知道是否存在無限多個歐幾里得質數

E₆ = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509是第一個歐幾里得合數

這表明並非所有歐幾里得數都是質數。
歐幾里得數不能是平方數. 因為歐幾里得數除以4都餘3. 對於所有的n ≥ 3的E_n(歐幾里得數)之最後一位數字永遠是1，因為E_n − 1必能被2和5整除(n ≥ 3)。

參考文獻

1. Michael Hardy and Catherine Woodgold, "Prime Simplicity", Mathematical Intelligencer, volume 31, number 4, fall 2009, pages 44–52.
2. A. Borning, "有些結果${\displaystyle k!+1}$ and ${\displaystyle 2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1}$" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
3. 本段是譯自Euclid number（英語：Euclid number）的文字第2段
4. Proposition 20. （原始內容存檔於2011-01-23）.

參見

• 歐幾里德穆林數列（英語：Euclid–Mullin sequence）
• 質數無窮性的證明 (Euclid's theorem)
• 質數階乘
• 質數階乘質數