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在數學中,有向集合(也叫有向預序或過濾集合),是一個具有預序關係(自反及傳遞之二元關係 ≤)的非空集合 A,而且每一對元素都會有個上界[1],亦即對於 A 中任意兩個元素 a 和 b,存在著 A 中的一個元素 c(不必然不同於 a,b),使得 a ≤ c 和 b ≤ c(有向性)。
有向集合是非空全序集合的廣義化,亦即所有的全序集合都會是有向集合(偏序集合則不一定是有向的,因極大元原故)。在拓撲學裡,有向集合被用來定義網,一種廣義化序列且統合用於數學分析中各式極限的概念。有向集合亦在抽象代數及(更一般的)範疇論中被用來產生有向極限這類的概念。
有向集合的例子有:
有向集合是比(並)半格更弱的(更一般的)概念:所有並半格都是有向集合,兩個元素的並就是想要的 c。
但是有向集合不要求極小性:可以有很多其他這樣的 c。
有向集合不需要是反對稱的,並且一般不是偏序的。但是這個術語也經常用在偏序集合的上下文中。在這種情況下,偏序集合(P,≤)的子集 A 叫做有向子集,若且唯若
這裡 A 的元素的次序繼承自 P。為此,自反性和傳遞性不需要明確的要求。
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