曲線的微分幾何
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曲線的微分幾何是幾何學的一個分支,使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。
從古代開始,許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式:把曲線表示為參數形式,將它們的幾何性質和各種量,比如曲率和弧長,用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架,是一個活動標架,在曲線每一點附近給出「最合適」的坐標系。
曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多,也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長(「自然參數」)參數化,從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息,所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上,這由微分幾何不變量曲線的「曲率」和「撓率」來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。