斐惹爾斯函數

斐惹爾斯函數（Ferrers Functions）是連帶勒讓德方程的實數解，分為第一類斐惹爾斯函數和第二類斐惹爾斯函數。分別定義如下^[1]

第一類斐惹爾斯函數

Ferrers Function First Kind P(x)

Ferrers Function Second Kind Q(x)

${\displaystyle P_{v}^{\mu }(x)=({\frac {1+x}{1-x}})^{\mu /2}*{\frac {F(v+1,-v;1-\mu ;1/2-x/2)}{\Gamma (1-\mu )}}}$

第二類斐惹爾斯函數

${\displaystyle Q_{v}^{\mu }(x)=(cos(\mu *\pi )*({\frac {1+x}{1-x}})^{\mu /2}{\frac {)F(v+1,-v;1-\mu ;1/2-2/x)}{\Gamma (1-\mu }}}$

與其他特殊函數的關係

${\displaystyle P_{v}^{\mu }(x)=\left(-{\frac {1+x}{-1+x}}\right)^{1/2\,\mu }{\it {HeunC}}\left(0,-\mu ,2\,v+1,0,v+1/2+{v}^{2},{\frac {-1+x}{1+x}}\right)\left(\left(1/2+1/2\,x\right)^{v+1}\right)^{-1}\left(\Gamma \left(1-\mu \right)\right)^{-1}}$

參考文獻

1. Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, p352-356,Cambridge University Press 2010