湍流

湍流，在流體動力學中，是一種流體運動，其特徵是壓力和流速的無序變化。它與層流相對。 ^[1]

湍流十分常見，例如海浪、湍急的河流、滾滾的暴風雲或煙囪冒出的煙霧，自然界中發生或工程應用中產生的大多數流體流動都是湍流。 ^{[2] [3]} 湍流是由流體流動部分中的過度動能引起的，它克服了流體黏度的阻尼效應。出於這個原因，湍流通常在低黏度流體中實現。一般而言，在湍流中，會出現大小不一的非定常渦流，它們相互影響，因此由於摩擦效應而產生的阻力增加。這增加了通過管道泵送流體所需的能量。

湍流的開始可以通過無量綱雷諾數預測，即流體流動中動能與黏性阻尼的比率。然而，湍流長期以來一直難以詳細地物理分析，湍流內部的相互作用會產生非常複雜的現象。理察·費曼將湍流描述為經典物理學中最重要的未解決問題。 ^[4]

湍流在許多領域都有研究，如航空航天、空氣污染、^[5]降水、^[6]及氣候變化。^[7]

湍流的例子

層流和湍流的水流過潛艇的船體。隨著水的相對速度增加，會發生湍流。

飛機機翼穿過彩色煙霧的尖端渦流中的湍流（機尾亂流）

• 從香菸升起的煙霧。在最初的幾厘米處，煙霧呈層狀。隨著流速和特徵長度尺度的增加，其雷諾數增加，煙羽逐漸變為湍流。
• 氣流通過一個高爾夫球。（考慮高爾夫球是靜止的，空氣流過它) 如果高爾夫球是光滑的，在典型條件下，球體前部的邊界層流將是層流。然而，邊界層會提前分離，因為壓力梯度從有利（在流動方向上的壓力降低）變為不利（在流動方向上的壓力增加），在球後面產生大面積的低壓，從而產生高形狀阻力.為防止這種情況發生，表面有凹坑以擾亂邊界層並促進湍流。這會導致更高的表皮摩擦，但它會使邊界層分離點進一步移動，從而降低阻力。
• 飛機飛行過程中遇到的晴空顛簸，以及較差的視寧度（透過大氣層看到的圖像模糊）。
• 大部分陸地上的大氣環流。
• 海洋和大氣混合層和強烈的洋流。
• 許多工業設備（如管道、管道、除塵器、氣體洗滌器、動態刮板式換熱器等）和機器（如內燃機和燃氣輪機）中的氣流。
• 汽車、飛機、輪船、潛艇等各種交通工具的外流。
• 恆星大氣中物質的運動。
• 從噴嘴排出到靜止流體中的射流。當流動出現在這種外部流體中時，會產生源自噴嘴唇緣的剪切層。這些層將快速移動的射流與外部流體分開，並且在某個臨界雷諾數下，它們變得不穩定並分解為湍流。
• 游泳動物產生的生物湍流會影響海洋混合。 ^[8]
• 水中的橋墩。當河流流動緩慢時，水在橋墩周圍順暢流動。當流動更快時，更高的雷諾數與流動相關聯。流動可能從層流開始，但很快變成湍流。
• 在許多地球物理流動（河流、大氣邊界層）中，流動湍流主要由相干結構和湍流事件支配。湍流事件是一系列湍流波動，其中包含比平均流動湍流更多的能量。 ^{[9] [10]}湍流事件與渦流和湍流爆發等連貫流動結構有關，它們在河流中的沉積物沖刷、吸積和輸送以及河流和河口以及大氣中的污染物混合和擴散方面發揮著關鍵作用。

• 在心臟病學醫學領域，聽診器用於檢測由血流湍流引起的心音和雜音。在正常人中，心音是心臟瓣膜關閉時湍流的產物。然而，在某些情況下，由於其他原因，可以聽到湍流，其中一些是病態的。例如，在晚期動脈粥樣硬化中，可以在一些因疾病過程變窄的血管中聽到雜音（因此是湍流）。
• 多孔介質中的湍流。 ^[11]

特徵

湍流射流的流動可視化，由雷射誘導螢光製成。射流表現出廣泛的長度尺度，這是湍流的一個重要特徵。

湍流具有以下特徵：

不規則

湍流總是高度不規則的。因此，湍流問題通常利用統計學處理。湍流是混沌的，然而，並不是所有的混沌流都是湍流。

擴散性

湍流中容易獲得的能量供應傾向於加速流體混合物的均質化（混合）。負責在流動中增強混合和增加質量、動量和能量傳輸速率的特性稱為「擴散性」。 ^[12]

湍流擴散通常用湍流擴散係數來描述。這種湍流擴散係數是在現象學意義上定義的，類似於分子擴散率，但它沒有真正的物理意義，取決於流動條件，而不是流體本身的特性。此外，湍流擴散率概念假定湍流通量和平均變量梯度之間的本構關係類似於分子傳輸中存在的通量和梯度之間的關係。在最好的情況下，這個假設只是一個近似值。然而，湍流擴散率是湍流定量分析的最簡單方法，並且已經有許多模型應用。例如，在海洋等大型水體中，可以使用理查森的四三次冪定律找到該係數，並受隨機漫步原理的約束。在河流和大洋流中，擴散係數由埃爾德公式的變體給出。

旋轉性

湍流具有非零渦度，其特徵在於稱為渦旋拉伸的強三維渦流生成機制。在流體動力學中，由於角動量守恆，它們本質上是受到拉伸的渦旋，與拉伸方向上的渦量分量相應增加有關。另一方面，渦旋伸縮是湍流能量級聯建立和維持可識別結構功能的核心機制。 ^[13]通常，拉伸機制意味著由於流體元素的體積守恆，在垂直於拉伸方向的方向上渦流變薄。結果，渦流的徑向長度尺度減小，較大的流動結構分解成較小的結構。該過程一直持續到小規模結構足夠小，以至於它們的動能可以通過流體的分子黏度轉化為熱量。湍流總是旋轉的和三維的。 ^[13]例如，大氣旋風是旋轉的，但它們基本上是二維的形狀不允許產生渦流，因此不會產生湍流。另一方面，海洋流是分散的，但基本上是非旋轉的，因此不是湍流。 ^[13]

耗散

為了維持湍流，需要持續的能量供應源，因為當動能通過黏性剪切應力轉化為內能時，湍流會迅速消散。湍流導致形成許多不同長度尺度的渦流。湍流運動的大部分動能都包含在大尺度結構中。能量通過慣性和本質上無黏性的機制從這些大型結構「級聯」到更小規模的結構。這個過程繼續進行，創建越來越小的結構，產生渦流的層次結構。最終，這個過程產生了足夠小的結構，使得分子擴散變得重要並且最終發生能量的黏性耗散。發生這種情況的尺度是柯爾莫哥洛夫長度尺度。

通過這種能量級聯，湍流可以實現為一系列流速波動和渦流在平均流上的疊加。渦流被鬆散地定義為流速、渦量和壓力的連貫模式。湍流可以被視為由在很寬的長度尺度範圍內的整個渦流層次組成，並且層次可以通過測量每個長度尺度（波數）的流速波動中的能量的能譜來描述。能量級聯中的尺度通常是不可控且高度不對稱的。然而，根據這些長度尺度，這些渦流可以分為三類。

• 積分時間尺度

拉格朗日流的積分時間尺度可以定義為：

${\displaystyle T=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(\tau )\rangle \,d\tau }$

其中u ′是速度波動，並且${\displaystyle \tau }$是測量之間的時間延遲。 ^[14]

• 積分長度尺度

大渦流從平均流中獲取能量，也從彼此中獲取能量。因此，這些是包含大部分能量的能量產生渦流。它們的流速波動大，頻率低。積分尺度是高度各向異性的，並根據歸一化的兩點流速相關性來定義。這些標尺的最大長度受設備特徵長度的限制。例如，管道流量的最大積分長度尺度等於管道直徑。在大氣湍流的情況下，這個長度可以達到幾百公里的數量級。：積分長度尺度可以定義為

${\displaystyle L=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(r)\rangle \,dr}$

其中r是兩個測量位置之間的距離， u ′是同一方向上的速度波動。 ^[14]

• 柯爾莫哥洛夫長度尺度

光譜中形成黏性子層範圍的最小尺度。在這個範圍內，非線性相互作用的能量輸入和黏性耗散的能量消耗是完全平衡的。小尺度具有高頻率，導致湍流局部各向同性和均勻。

• 泰勒微尺度

構成慣性子範圍的最大和最小刻度之間的中間刻度。泰勒微尺度不是耗散尺度，而是將能量從最大傳遞到最小而沒有耗散。一些文獻不將泰勒微尺度視為特徵長度尺度，並認為能量級聯僅包含最大和最小尺度；而後者同時容納慣性子範圍和黏性子層。然而，泰勒微尺度通常用於更方便地描述術語「湍流」，因為這些泰勒微尺度在波數空間中的能量和動量傳遞中起主導作用。

儘管可以找到控制流體運動的Navier-Stokes 方程的一些特定解，但所有這些解對於大雷諾數下的有限擾動都是不穩定的。對初始條件和邊界條件的敏感依賴使得流體流動在時間和空間上都是不規則的，因此需要進行統計描述。蘇聯數學家安德烈·柯爾莫哥羅夫（Andrey 柯爾莫哥洛夫）提出了第一個湍流統計理論，基於前面提到的能量級聯概念（最初由理查森提出）和自相似性概念。柯爾莫哥洛夫微尺度以他的名字命名。現在知道自相似性被破壞了，因此目前修改了統計描述。 ^[15]

湍流的完整描述是物理學中未解決的問題之一。根據一個虛構的故事，維爾納·海森堡被問到如果有機會他會問上帝什麼。他的回答是：「當我遇到上帝時，我會問他兩個問題：為什麼是相對論？為什麼會出現湍流？我真的相信他第一個會有答案。」 ^[16]赫拉斯·蘭姆 ( Horace Lamb ) 在英國科學促進會的一次演講中也有類似的俏皮話：「我現在是個老人了，當我死去上天堂時，有兩件事我希望得到啟蒙。一個是量子電動力學，另一個是流體的湍流運動。而關於前者，我比較樂觀。」 ^{[17] [18]}

湍流的形成

來自這種蠟燭火焰的羽流從層流變為湍流。雷諾數可用於預測這種轉變將發生的位置

在某種程度上，湍流的開始可以通過雷諾數來預測，雷諾數是流體內慣性力與黏性力的比值，流體由於不同的流體速度而受到相對內部運動，在所謂的邊界內在邊界表面（例如管道內部）的情況下為層。通過引入更高速度的流體流（例如來自空氣中的火焰的熱氣體）可以產生類似的效果。這種相對運動會產生流體摩擦，這是產生湍流的一個因素。抵消這種影響的是流體的黏度，隨著黏度的增加，它會逐漸抑制湍流，因為更多的動能被更黏稠的流體吸收。雷諾數量化了這兩種力在給定流動條件下的相對重要性，並且是在特定情況下何時會發生湍流的指南。 ^[19]

這種預測湍流開始的能力是管道系統或飛機機翼等設備的重要設計工具，但雷諾數也用於流體動力學問題的縮放，並用於確定兩種不同情況之間的動態相似性流體流動，例如模型飛機及其全尺寸版本之間。這種縮放並不總是線性的，雷諾數在這兩種情況下的應用允許開發縮放因子。由於流體分子黏度的作用，動能被顯著吸收的流動情況產生了層流狀態。為此，雷諾數( Re ) 用作無量綱量。

關於層流和湍流狀態：

• 層流發生在低雷諾數時，其中黏性力占主導地位，其特點是平穩、恆定的流體運動；
• 湍流發生在高雷諾數時，並由慣性力主導，慣性力往往會產生混沌渦流、渦旋和其他流動不穩定性。

雷諾數定義為^[20]

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}\,,}$

其中：

• ρ 是流體密度 (kg/m³)
• v 是流體相對於物體的特徵速度 (m/s)
• L 是線性的特徵尺度 (m)
• μ 是流體的黏度(Pa·s or N·s/m² or kg/(m·s)).

雖然沒有定理直接將無量綱雷諾數與湍流聯繫起來，但雷諾數大於 5000 的流動通常（但不一定）是湍流，而低雷諾數的流動通常保持層流。例如，在泊肅葉流中，如果雷諾數大於約 2040 的臨界值，則可以首先維持湍流； ^[21]此外，湍流通常穿插層流，直到更大的雷諾數約為 4000。

如果物體的尺寸逐漸增加，或者流體的黏度降低，或者流體的密度增加，就會發生層流向湍流的轉變。

熱量和動量傳遞

當流動是湍流時，顆粒表現出額外的橫向運動，這提高了它們之間的能量和動量交換率，從而增加了熱傳遞和摩擦係數。

假設二維湍流能夠定位流體中的特定點並測量在任何給定時間通過該點的每個粒子的實際流速v = (v_x,v_y) 。然後會發現實際流速在平均值附近波動：

${\displaystyle v_{x}=\underbrace {{\overline {v}}_{x}} _{\text{mean value}}+\underbrace {v'_{x}} _{\text{fluctuation}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\overline {v}}_{y}+v'_{y}\,;}$

同樣對於溫度 ( T = T + T′) 和壓力 ( P = P + P′)，其中引數表示與平均值疊加的波動。這種將流動變量分解為平均值和湍流波動的方法最初是由奧斯伯恩·雷諾於 1895 年提出的，被認為是湍流系統數學分析的開始，作為流體動力學的一個子領域。平均值被視為由動力學定律確定的可預測變量，而湍流波動被視為隨機變量。

給定時間內在垂直於流動的方向上的熱通量和動量傳遞（由剪切應力τ表示）為

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=\underbrace {v'_{y}\rho c_{P}T'} _{\text{experimental value}}=-k_{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial y}}\,;\\\tau &=\underbrace {-\rho {\overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{\text{experimental value}}=\mu _{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {v}}_{x}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}}$

其中c_P是恆壓下的熱容量， ρ是流體的密度， μ_turb是湍流黏度係數， k_turb是湍流熱導率。 ^[3]

柯爾莫哥洛夫 1941 年的理論

理查森的湍流概念是湍流由不同大小的「渦流」組成。尺寸定義了渦流的特徵長度尺度，其特徵還在於取決於長度尺度的流速尺度和時間尺度（周轉時間）。大渦是不穩定的，最終會分解產生較小的渦流，並且最初的大渦流的動能被分成由此產生的較小渦流。這些較小的渦流經歷相同的過程，產生更小的渦流，這些渦流繼承了其前身渦流的能量，依此類推。通過這種方式，能量從運動的大尺度向下傳遞到較小的尺度，直到達到足夠小的長度尺度，使得流體的黏度可以有效地將動能消散為內能。

在他 1941 年發表的原始理論中， 柯爾莫哥洛夫假設對於非常高的雷諾數，小尺度湍流運動在統計上是各向同性的（即無法辨別出優先的空間方向）。一般來說，流動的大尺度不是各向同性的，因為它們是由邊界的特定幾何特徵決定的（表徵大尺度的大小將表示為L）。 柯爾莫哥洛夫 的想法是，在理查森的能量級聯中，這種幾何和方向信息丟失了，而尺度減小了，因此小尺度的統計具有普遍性：當雷諾數足夠時，它們對於所有湍流都是相同的高的。

因此，柯爾莫哥洛夫 引入了第二個假設：對於非常高的雷諾數，小尺度的統計數據普遍且唯一地由運動黏度ν和能量耗散率ε確定。只有這兩個參數，可以通過量綱分析形成的唯一長度為

${\displaystyle \eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}\,.}$

這如今被稱為 柯爾莫哥洛夫 長度尺度（參見柯爾莫哥洛夫微尺度 ）。

湍流的特徵在於能量級聯發生的尺度層次。動能耗散發生在 柯爾莫哥洛夫 長度η量級的尺度上，而能量輸入級聯則來自L量級的大尺度衰減。級聯極端的這兩個尺度在高雷諾數下可能相差幾個數量級。在這之間有一系列尺度（每個尺度都有自己的特徵長度r ），這些尺度是以犧牲大尺度能量為代價的。這些尺度與 柯爾莫哥洛夫 長度相比非常大，但與流動的大尺度相比仍然非常小（即η ≪ r ≪ L ）。由於該範圍內的渦流比存在於 柯爾莫哥洛夫 尺度上的耗散渦流大得多，因此動能在該範圍內基本上不會消散，它只是轉移到較小的尺度，直到黏性效應變得重要，因為接近 柯爾莫哥洛夫 尺度的階.在這個範圍內，慣性效應仍然比黏性效應大得多，並且可以假設黏性在它們的內部動力學中不起作用（因此這個範圍被稱為「慣性範圍」）。

因此，柯爾莫哥洛夫 的第三個假設是，在非常高的雷諾數下， η ≪ r ≪ L範圍內的尺度統計量普遍且唯一地由尺度r和能量耗散率ε確定。

動能在多個尺度上分布的方式是湍流的基本特徵。對於均勻湍流（即，在參考系的平移下統計不變），這通常通過能譜函數E(k)來完成，其中k是與流動的傅立葉表示中的一些諧波相對應的波向量的模數速度場u(x) :

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} \,,}$

其中û(k)是流速場的傅立葉變換。因此， E(k) dk表示所有傅立葉模式對動能的貢獻，其中k < |k| < k + dk ，因此，

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,}$

這是流體的平均湍流動能。波數k對應長度尺度r，k=2π/r。因此，通過量綱分析，基於柯爾莫哥洛夫第三假設，能量譜函數只可能具備以下形式：

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,}$

其中${\displaystyle K_{0}\approx 1.5}$是一個普遍的常數。這是 柯爾莫哥洛夫 1941 理論最著名的結果之一，並且已經有大量的實驗證據支持。 ^[22]

在慣性區域外，可以有下面的公式^[23] ：

${\displaystyle E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,,}$

儘管取得了這一成功，但柯爾莫哥洛夫理論目前仍在修訂中。該理論隱含地假設湍流在不同尺度上是統計自相似的。這實質上意味著統計在慣性範圍內是尺度不變的和非間歇的。研究湍流速度場的常用方法是通過流速增量：

${\displaystyle \delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,;}$

也就是說，由矢量r分隔的點之間的流速差（由於假定湍流是各向同性的，因此流速增量僅取決於r的模量）。流速增量很有用，因為它們在計算統計數據時強調了分離r級的尺度的影響。沒有間歇性的統計尺度不變性意味著流速增量的縮放應該以唯一的縮放指數β發生，因此當r按因子λ縮放時，${\displaystyle \delta \mathbf {u} (\lambda r)}$ 應該與${\displaystyle \lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)}$有相同的統計分布。β與尺度r無關。從這一事實和 柯爾莫哥洛夫 1941 理論的其他結果可以得出，流速增量的統計矩（稱為湍流中的結構函數）應按比例縮放為

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}\langle (\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\rangle \,,}$

其中括號表示統計平均值， C_n將是通用常數。

有大量證據表明湍流偏離了這種行為。縮放指數偏離n/3這個理論預測值，成為一個有關結構函數第n項的非線性函數。這種常數的通用性也受到了質疑，對於較低的項，與n/3預測值的差異很小，這也解釋了柯爾莫哥洛夫理論在低階統計情形下的成功。特別地，可以證明當能量譜遵循

${\displaystyle E(k)\propto k^{-p}\,,}$

其中1 < p < 3，二階結構函數也有冪律，形式為

${\displaystyle {\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,}$

由於從二階結構函數獲得的實驗值僅略微偏離2/3柯爾莫哥洛夫 理論預測的值， p的值非常接近5/3 （差異約為 2% ^[24] ）。因此，「柯爾莫哥洛夫 -5/3光譜」一般在湍流中觀察到。然而，對於高階結構函數，與 柯爾莫哥洛夫 標度的差異是顯著的，並且統計自相似性的分解是明顯的。這種行為，以及C_n常數缺乏普遍性，與湍流中的陣發混沌現象有關，並且可能與在尺度r上平均耗散率的非平凡縮放行為有關。 ^[25]這是該領域的一個重要研究領域，現代湍流理論的一個主要目標是了解慣性範圍內的普遍性，以及如何從 Navier-Stokes 方程（即第一原理）推導出間歇性特性。

另見

• 層流
• 混沌理論
• 流體動力學
• 納維-斯托克斯方程
• 卡門渦街
• 大渦模擬
• 雷諾數
• 渦流
• 渦旋
• 風洞

參考資料

1. Batchelor, G. Introduction to Fluid Mechanics. 2000.
2. Ting, F. C. K.; Kirby, J. T. Dynamics of surf-zone turbulence in a spilling breaker. Coastal Engineering. 1996, 27 (3–4): 131–160. doi:10.1016/0378-3839(95)00037-2.
3. Tennekes, H.; Lumley, J. L. A First Course in Turbulence. MIT Press. 1972 [2022-10-12]. ISBN 9780262200196. （原始內容存檔於2022-05-24）.
4. Eames, I.; Flor, J. B. New developments in understanding interfacial processes in turbulent flows. Philosophical Transactions of the Royal Society A. January 17, 2011, 369 (1937): 702–705 [2022-10-12]. Bibcode:2011RSPTA.369..702E. PMID 21242127. doi:10.1098/rsta.2010.0332 . （原始內容存檔於2016-08-17）.
5. Wei, Wei; Zhang, Hongsheng; Cai, Xuhui; Song, Yu; Bian, Yuxuan; Xiao, Kaitao; Zhang, He. Influence of Intermittent Turbulence on Air Pollution and Its Dispersion in Winter 2016/2017 over Beijing, China. Journal of Meteorological Research. February 2020, 34 (1): 176–188. Bibcode:2020JMetR..34..176W. ISSN 2095-6037. doi:10.1007/s13351-020-9128-4  （英語）.
6. Benmoshe, N.; Pinsky, M.; Pokrovsky, A.; Khain, A. Turbulent effects on the microphysics and initiation of warm rain in deep convective clouds: 2-D simulations by a spectral mixed-phase microphysics cloud model. Journal of Geophysical Research: Atmospheres. 2012-03-27, 117 (D6): n/a. Bibcode:2012JGRD..117.6220B. ISSN 0148-0227. doi:10.1029/2011jd016603 .
7. Sneppen, Albert. The power spectrum of climate change. The European Physical Journal Plus. 2022-05-05, 137 (5): 555. ISSN 2190-5444. doi:10.1140/epjp/s13360-022-02773-w （英語）.
8. Kunze, Eric; Dower, John F.; Beveridge, Ian; Dewey, Richard; Bartlett, Kevin P. Observations of Biologically Generated Turbulence in a Coastal Inlet. Science. 2006-09-22, 313 (5794): 1768–1770 [2022-10-12]. Bibcode:2006Sci...313.1768K. ISSN 0036-8075. PMID 16990545. S2CID 33460051. doi:10.1126/science.1129378. （原始內容存檔於2022-10-16） （英語）.
9. Narasimha, R.; Rudra Kumar, S.; Prabhu, A.; Kailas, S. V. Turbulent flux events in a nearly neutral atmospheric boundary layer (PDF). Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2007, 365 (1852): 841–858 [2022-10-12]. Bibcode:2007RSPTA.365..841N. PMID 17244581. S2CID 1975604. doi:10.1098/rsta.2006.1949. （原始內容存檔 (PDF)於2017-09-22）.
10. Trevethan, M.; Chanson, H. Turbulence and Turbulent Flux Events in a Small Estuary. Environmental Fluid Mechanics. 2010, 10 (3): 345–368 [2022-10-12]. S2CID 7680175. doi:10.1007/s10652-009-9134-7. （原始內容存檔於2019-03-19）.
11. Jin, Y.; Uth, M.-F.; Kuznetsov, A. V.; Herwig, H. Numerical investigation of the possibility of macroscopic turbulence in porous media: a direct numerical simulation study. Journal of Fluid Mechanics. 2 February 2015, 766: 76–103. Bibcode:2015JFM...766...76J. S2CID 119946306. doi:10.1017/jfm.2015.9.
12. Ferziger, Joel H.; Peric, Milovan (2002). Computational Methods for Fluid Dynamics. Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. pp. 265–307. ISBN 978-3-642-56026-2.
13. Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (2012). Fluid Mechanics. Netherlands: Elsevier Inc. pp. 537–601. ISBN 978-0-12-382100-3.
14. Tennekes, Hendrik. A First Course in Turbulence. The MIT Press. 1972.
15. weizmann.ac.il (PDF). [2022-10-12]. （原始內容存檔 (PDF)於2012-10-06）.
16. Marshak, Alex. 3D radiative transfer in cloudy atmospheres. Springer. 2005: 76. ISBN 978-3-540-23958-1.
17. Mullin, Tom. Turbulent times for fluids. New Scientist. 11 November 1989.
18. Davidson, P. A. Turbulence: An Introduction for Scientists and Engineers. Oxford University Press. 2004. ISBN 978-0-19-852949-1.
19. Falkovich, G. Fluid Mechanics. Cambridge University Press. 2011.^[缺少ISBN]
20. Sommerfeld, Arnold. Ein Beitrag zur hydrodynamischen Erkläerung der turbulenten Flüssigkeitsbewegüngen [A Contribution to Hydrodynamic Explanation of Turbulent Fluid Motions]. International Congress of Mathematicians. 1908, 3: 116–124.
21. Avila, K.; Moxey, D.; de Lozar, A.; Avila, M.; Barkley, D.; B. Hof. The Onset of Turbulence in Pipe Flow. Science. July 2011, 333 (6039): 192–196 [2022-10-12]. Bibcode:2011Sci...333..192A. PMID 21737736. S2CID 22560587. doi:10.1126/science.1203223. （原始內容存檔於2022-10-17）.
22. Frisch, U. Turbulence: The Legacy of A. N. Kolmogorov. Cambridge University Press. 1995. ISBN 9780521457132.
23. Leslie, D. C. Developments in the theory of turbulence. Clarendon Press, Oxford. 1973.
24. Mathieu, J.; Scott, J. An Introduction to Turbulent Flow. Cambridge University Press. 2000.^[缺少ISBN]
25. Meneveau, C.; Sreenivasan, K.R. The multifractal nature of turbulent energy dissipation. J. Fluid Mech. 1991, 224: 429–484. Bibcode:1991JFM...224..429M. S2CID 122027556. doi:10.1017/S0022112091001830.