掛谷集合

在數學中，掛谷集合（Kakeya set）或者貝西科維奇集合，是一個在歐幾里德空間中的點的集合，包含了在任何方向上的單位線段。例如，歐幾里德平面中的一個半徑為1/2的圓盤，或在三維空間中一個半徑為1/2的球，形成了一個掛谷集。 許多在此方面的研究已經研究了這樣的點集面積最小值的問題。 貝西科維奇表明貝西科維奇集可以為無限小集。

這幅圖展示了一個在三尖瓣線的內部旋轉的轉針。 在它轉動的每一階段（除了一個端點是在三尖瓣線的一個頂點時），轉針與三尖瓣線相交於三個點：兩個端點（藍色）和一切點（黑色）。 轉針的中點（紅色）描繪了一個直徑等於轉針一半的長度的圓。

掛谷轉針集合（有時也稱為掛谷集合）是一個在平面上的更典型的（貝西科維奇）集合，單位線段在其中可以連續旋轉180度，使其與其原來的位置顛倒。半徑為的1/2圓盤也是掛谷轉針集合的一個例子。

掛谷轉針問題

掛谷轉針問題，詢問在平面上是否有一個面積最小的區域D，在其中針可以旋轉360度。掛谷宗一於1917年首次對於凸集提出此問題。Pál的研究顯示，凸集的最小面積可以通過一個高為1和面積為1/√3的 等邊三角形達到。^[1]

掛谷似乎認為面積最小的沒有凸性限制的掛谷集 D 將是一個三尖瓣線。然而這是錯誤的；還有較小的非凸掛谷集合。

貝西科維奇集合

一種「萌芽」方法，用於構造一個小尺度的掛谷集合。這裡展示了兩種可能的方法來劃分我們的三角形並重疊部分以得到一個較小的集合，第一種方法是我們只使用兩個三角形，第二種方法是我們使用八個三角形。請注意，與原始起始形狀相比，最終形狀的大小有多小。

亞伯蘭·貝西科維奇可以證明在其中單位長度的轉針可以旋轉一周的區域D的面積沒有一個大於0的下界。^[2] 這個結論建立於他早期對於每個方向上包含單位段的平面集的研究。這樣的集合現在被稱作貝西科維奇集合。 貝西科維奇在1919年的工作顯示這樣的點集可以有無限小量度的面積 。在此之前，分析學家可能已經考慮過這個問題。

一種構造貝西科維奇集合的方法（相關圖形見圖右）在奧斯卡·佩龍能夠簡化貝西科維奇的原始結構之後被稱作「佩龍樹」：^[3] 作一個高為1的三角形，將其分為二部，將每一部分平移到另一部分上，使得它們的底重合於一些較小的區間。然後這個新圖形便有了更小的面積。

現在，想像我們把我們的三角形分為8個子三角形。對於每對相鄰的三角形，重演如上所述的重疊過程，獲得4個新圖形，每個包括兩個重疊的三角形。接著，將相鄰的新圖形移動，使其底部分重合，所以我們只剩下兩個圖形，最後用同樣方法將這兩個圖形重合。最後，我們得到了一個看上去像是樹之類的東西的圖形，但面積遠小於原來的三角形。

為了構造更小的點集，將三角形細分為2ⁿ 個三角形，每個三角形的底長為2⁻ⁿ，並執行與我們之前兩次和八次劃分三角形時相同的操作。如果我們在每個三角形上所做的重疊量足夠小，並且我們三角形的細分區域的大小n足夠大，我們就可以形成一棵我們想要的面積最小的樹。一個貝西科維奇集合可以由等邊三角形產生的佩隆樹的三個旋轉組合而成。

進一步採用該方法，我們可以構造一個集合序列，其交集是一個度量零的貝西哥維奇集合。這樣做的一種方法是觀察，如果我們有一個平行四邊形，兩個邊在x=0和x=1線上，那麼我們就可以找到一個平行四邊形的併集，這些平行四邊形的邊也在這些線上，它們的總面積是任意小的，並且包含了平行四邊形中將x=0上的一個點連接到x=1上的一個點的所有直線的平移。這可由貝西奧維奇的構造方法稍變化而得。重複以上，我們可以找到一個集合序列

${\displaystyle K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\cdots }$

每一個直線x=0和x=1之間的平行四邊形的有限併集，其面積趨向於零，並且每一條都包含單位面積中連接x=0和x=1的所有直線的平移。這些集合的交集是一個包含所有這些線的轉換的度量零集，因此這個交集的兩個副本的併集是一個度量零的貝西科維奇集。

除了「萌芽」方法之外，還有其他方法可以構造貝西科維奇的度量零集。例如卡漢（英語：Jean-Pierre_Kahane）使用康托爾集在二維平面中構造一個貝西科維奇測量零點集。 ^[4]

一個由佩龍樹構造的掛谷轉針集合

掛谷轉針集合

通過使用Pál的技巧，即所謂的Pál連接（給定兩條平行線，任何單位線段都可以在任意小尺寸的集合上從一個連續移動到另一個），可以從由佩龍樹組成的貝西科維奇集合創建一個單位線段可以在其中連續旋轉180度的集合。^[5]

1941年，H.J.van Alphen^[6]證明在半徑為2+ε（任意ε>0）的圓內存在任意小的掛谷轉針集合。1965年，人們發現了面積比三尖瓣線小的單連通的掛谷轉針集合。Melvin Bloom和I.J.Schoenberg各自獨立證明了掛谷轉針集合的面積趨近於布盧姆·勛伯格數${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$。勛伯格推測這個數字是單連通掛谷轉針集合面積的下限。然而，在1971年，F.Cunningham^[7]指出，當ε>0時，半徑為1的圓內存在一個面積小於ε的單連通的掛谷轉針集合。

雖然有測量為任意小正數的掛谷轉針集合和測量為0的貝西科維奇針組，但沒有測量為0量的卡基亞針組。

掛谷猜想

猜想敍述

然後，在更高維度中，也可以問最小的貝西科維奇集合有多大。這個問題衍生了許多稱為掛谷猜想的猜想，並且開拓了稱為幾何測度論的數學領域。特別是，如果存在測度為零的貝西科維奇集，那麼是否存在某些小於它們所處空間的維數的維度 s，使得該掛谷集具有 s 維豪斯多夫測度零？這個問題產生了以下猜想：

掛谷集合猜想：將Rⁿ中的貝西科維奇集合定義為一個包含每個方向的單位線段的集合。這樣的集合的豪斯多夫維數和閔科夫斯基維數等於n.

已知這對於n = 1,2是正確的，但是在更高維度中僅知道部分結果。

掛谷最大值函數

解決這個問題的一種現代方法是考慮一種特殊類型的最大函數，我們將其構造如下：將 Sⁿ⁻¹ ⊂ Rⁿ 表示為n維空間中的單位球。定義

${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$為長度為1，半徑δ> 0的圓柱體，以點 a ∈ Rⁿ為中心，其長邊平行於單位矢量e ∈ Sⁿ⁻¹的方向。然後對於局部可積函數f，我們定義f的掛谷極大值函數

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

其中m表示n維勒貝格度量。請注意${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$定義為球體Sⁿ⁻中的向量e。

然後對這些函數進行猜想，如果猜想是真的，將推出更高維度的掛谷集猜想：

掛谷極大函數猜想：對於所有ε > 0，存在一個常數C_ε > 0，這樣對於任何函數f和所有δ> 0，（參見符號的lp空間）

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

成果

以下是一些有利於證明掛谷猜想的成果：

• 掛谷猜想在n = 1 (平凡地)和n = 2 (Davies^[8])時成立。
• Wolff^[9]表明在任何n維空間中，掛谷集的維數必須至少為（n + 2）/ 2。
• 2000年，Katz、Łaba和陶哲軒^[10]證明掛谷集合的閔科夫斯基維數在維數為3時嚴格地大於5/2。
• 2000年，讓·布爾甘將掛谷問題與算術組合學聯繫起來，^[11][12] 其中包括諧波分析和加法理論。
• 2002年，Katz和陶哲軒^[13]將Wolff的限制範圍縮小到了${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$，更適合n > 4的情況。
• 2017年，Katz和Zahl^[14] 將3維中貝西科維奇集合的豪斯多夫維數的下限推進到${\displaystyle 5/2+\epsilon }$ 且確認常數${\displaystyle \epsilon >0}$。

在分析學的應用

有些令人驚訝的是，這些猜想已經被證明與其他領域的一些問題有關，特別是在諧波分析中。例如，在1971年，Charles Fefferman^[15]能夠使用貝西科維奇集構造來證明，在大於1的維度中，當p≠2時，截斷的傅立葉積分不需要在L^p範數中收斂（這與一維情況相反，在這種情況下，截斷的整群確實收斂）。

掛谷問題的類比和推廣

包含圓和球體的集合

掛谷問題的一個類推，是要求集合包含其他形狀，例如圓形或球面，而非原問題的線段。

• 在1997年^[16]和1999年^[17]，沃爾夫證明了：若一個集合包含每個半徑的球面，則該集合的維度必須等於等於它所處的空間的維度。其證明方式是先給出圓形最大函數（類似掛谷最大函數）的一個界限。

• 有人猜想，存在一個零測集，其包含以每個點為中心的球面。然而，埃利亞斯·施泰因^[18]的結果證明，當n≥3時，所有這些集合必須具有正測度，而對於n = 2的情況，Marstrand^[19]證明了同樣的結論。

包含k維圓盤的集合

掛谷猜想的一個推廣是考慮包含每個k維子空間的一部分的集合，而不是每個方向的線段。定義(n, k)-貝西科維奇集K 為Rⁿ 中的緊緻集，其勒貝格測度為零，且包含每個方向的k維單位圓盤的平移，即：若以B表示以零為中心的單位球，則對於每個k維子空間P，存在x ∈ Rⁿ使得(P ∩ B) + x ⊆ K。因此，(n, 1)-貝西科維奇集就是前面描述的標準貝西科維奇集。

(n, k)-貝西科維奇猜想：對於k > 1，不存在(n, k)-貝西科維奇集。

1979年，Marstrand^[20]證明了不存在(3, 2)-貝西科維奇集。大約在同一時間，Falconer^[21]證明了當2k > n時，不存在(n, k)-貝西科維奇集。截至2020年，最優的成果是，Bourgain^[22]證明了當2^k−1 + k > n時，不存在這樣的集。

在有限域的向量空間的掛谷集

1999年，Wolff提出了Kakeya問題的有限域模擬，希望解決這一猜想的技術可以推廣到歐幾里德情形。

有限域Kakeya猜想：令F為有限域，令K ⊆ Fⁿ為掛谷集，即對於每個向量y ∈ Fⁿ存在x ∈ Fⁿ使K包含一條直線{x + ty : t ∈ F}。集合K的大小至少為c_n|F|ⁿ ，其中c_n>0是只與n有關常量。

Zeev-Dvir在2008年證明了這個猜想，表明這個說法適用於c_n = 1/n!。^[23][24] 在他的證明中，他觀察到掛谷集上n元次數低於|F|的為零的多項式必須為零。另一方面，次數低於|F|的n元多項式形成有以下維數的向量空間：${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

因此，至少有一個次數小於 |F|的非平凡多項式在任何給定集上收斂，且點數小於此數。結合這兩個觀察結果，Kakeya集必須至少有|F|ⁿ/n! 個點。

現在仍未清楚這些技術是否會延伸到證明原始掛谷猜想，但這一證明確實使基本代數反例不太可能，從而為原始猜想提供了可信度。Dvir撰寫了一篇關於有限域掛谷問題及其與隨機抽取器關係的綜述文章。^[25]

參見

• 移動沙發問題

注釋

1. Pal, Julius. Ueber ein elementares variationsproblem. Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd. 1920, 2: 1–35.
2. Besicovitch, Abram. Sur deux questions d'integrabilite des fonctions. J. Soc. Phys. Math. 1919, 2: 105–123.
   Besicovitch, Abram. On Kakeya's problem and a similar one. Mathematische Zeitschrift. 1928, 27: 312–320. doi:10.1007/BF01171101.
3. Perron, O. Über eine Satz von Besicovitch. Mathematische Zeitschrift. 1928, 28: 383–386. doi:10.1007/BF01181172.
   Falconer, K. J. The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. 1985: 96–99.
4. Kahane, Jean-Pierre. Trois notes sur les ensembles parfaits linéaires. Enseignement Math. 1969, 15: 185–192.
5. The Kakeya Problem （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Markus Furtner
6. Alphen, H. J. Uitbreiding van een stelling von Besicovitch. Mathematica Zutphen B. 1942, 10: 144–157.
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參考文獻

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• Wolff, Thomas. Łaba, Izabella; Shubin, Carol , 編. Lectures on Harmonic Analysis. University Lecture Series 29. With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254. doi:10.1090/ulect/029.

外部連結

• Kakeya at University of British Columbia （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Besicovitch at UCLA （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Kakeya needle problem at mathworld （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Dvir’s proof of the finite field Kakeya conjecture at Terence Tao's blog （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）