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拓撲學
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在數學裡,拓撲學(英語:Topology)也可寫成拓樸學[1],或意譯為位相幾何學,是一門研究拓撲空間的學科,主要研究空間內,在連續變化[註 1]下維持不變的性質。在拓撲學裡,重要的拓撲性質包括連通性與緊緻性。
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拓撲學是由幾何學與集合論裡發展出來的學科,研究空間、維度與變換等概念。這些詞彙的來源可追溯至哥特佛萊德·萊布尼茲,他在17世紀提出「位置的幾何學」(geometria situs)和「位相分析」(analysis situs)的說法。萊昂哈德·歐拉的柯尼斯堡七橋問題與歐拉示性數被認為是該領域最初的定理。「拓撲學」一詞由利斯廷於19世紀提出,雖然直到20世紀初,拓撲空間的概念才開始發展起來。到了20世紀中葉,拓撲學已成為數學的一大分支。
拓撲學有許多子領域:
- 一般拓撲學建立拓撲的基礎,並研究拓撲空間的性質,以及與拓撲空間相關的概念。一般拓撲學亦被稱為點集拓撲學,被用於其他數學領域(如緊緻性與連通性等主題)之中。
- 代數拓撲學運用同調與同倫群等代數結構量測連通性的程度。
- 微分拓撲學研究在微分流形上的可微函數,與微分幾何密切相關,並一齊組成微分流形的幾何理論。
- 幾何拓撲學主要研究流形與其對其他流形的嵌入。幾何拓撲學中一個特別活躍的領域為「低維拓撲學」,研究四維以下的流形。幾何拓撲學亦包括「紐結理論」,研究數學上的紐結。
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