循環連分數

循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數：

${\displaystyle x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {\ddots }{\quad \ddots \quad a_{k+m-1}+{\cfrac {1}{a_{k+m}+{\cfrac {1}{a_{k+1}+{\cfrac {1}{a_{k+2}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}\,}$

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[a_k+1, a_k+2,…a_k+m]會一直重覆出現。例如${\displaystyle {\sqrt {2}}}$即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{a_i}可以是任何實數或虛數。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為二次無理數^[1]。例如${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$。

文內注釋

1. Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.