換位子群

在抽象代數中，一個群的換位子群或導群，是指由這個群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每個群都對應著一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規子群中，交換子群G′是使得G對它的商群為交換群的最小子群。在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因為從交換子的定義：${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$，如果x與y交換，那麼${\displaystyle [x,y]=e}$。一個群內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群${\displaystyle \{e\}}$。

定義

給定一個群G，G的交換子群或導群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交換子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .}$

類似地可以定義高階的導群。

${\displaystyle G^{(0)}=G}$

${\displaystyle G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

可以證明，如果存在自然數 n 使得 ${\displaystyle G^{(n)}={e}}$ ，那麼G是可解群。

商群${\displaystyle G/[G,G]}$是一個阿貝爾群，叫做G的阿貝爾化子群，通常記作G^ab。G的阿貝爾化子群就是G的一階同調群。

${\displaystyle [G,G]=G}$的群叫做完美群，這是與阿貝爾群相對的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群{e}。

性質

1. ${\displaystyle G^{\prime }}$是${\displaystyle G}$的正規子群。
2. G對於自同構穩定：${\displaystyle \forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }}$。
3. 如果H是G的子群，那麼${\displaystyle H^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$。
4. ${\displaystyle \pi :G_{1}\to G_{2}}$是一個滿同態，那麼${\displaystyle \pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }}$。
5. 如果H是G的正規子群，那麼${\displaystyle G/H}$是交換群，若且唯若${\displaystyle G^{\prime }\subseteq H}$。

   證明：${\displaystyle \pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha}$是一個滿同態，

   所以，${\displaystyle G/H}$是交換群

   ${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })}$

   ${\displaystyle \Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H}$

6. ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$，所以${\displaystyle G^{ab}=G/G^{\prime }}$ 可交換。

交換子群的例子

• 4次交替群${\displaystyle A_{4}}$的交換子群是克萊因四元群${\displaystyle V_{4}}$。
• n次對稱群${\displaystyle S_{n}}$的交換子群是n次交替群${\displaystyle A_{n}}$。
• 四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交換子群是 {1, −1}。

參見

• 群
• 交換子
• 正規子群
• 可解群
• 伽羅瓦理論