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範疇論
研究範疇、函子和自然變換的數學分支 / 維基百科,自由的 encyclopedia
範疇論(英語:Category theory)是數學的一門學科,是關於數學結構及其關係的一般理論,以抽象的方法處理數學概念,將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。
此條目需要補充更多來源。 (2022年10月9日) |
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一個範疇包含兩類數學物件:物件與態射。以集合範疇為例,其物件為集合,態射為集合間的函數。若以第一個態射的目標為源發出第二個態射,這樣形成的「複合態射」的性質同複合函數類似(存在結合律與單位態射)。但需注意,範疇的物件不一定要是集合,態射也不一定要是函數;一個數學概念若可以找到一種方法,以符合物件及態射的定義,則可形成一個有效的範疇,且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。
範疇最簡單的例子之一為廣群,其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現,在理論電腦科學的某些領域中用於對應資料型別,而在數學物理中被用來描述向量空間。
範疇論不只是對研究範疇論的人有意義,對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」,即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。