在數學中,實閉體或實封閉體是一類有序體,使得其中每個正元素皆可表為平方,且任何奇數次多項式都有根。以下將給出幾種等價的定義。
- 實數體
- ;它是的實閉包。
- 可計算數
- Puiseux級數
實封閉體的研究首先由數學家展開,隨後引起了邏輯學家的興趣。採用形式語言,設為實封閉體(帶序結構)的-一階理論,塔斯基證明了上有量詞消去;因此任兩個的模型都是初等等價的。一方面,我們可運用上的特有工具(微積分、拓撲等等)證明一般實封閉體上的一階句子;另一方面,則可透過適當的體擴張解決上的問題,後一方向上最著名的成就是 Abraham Robinson 對希爾伯特第十七問題的證明。
如果改採形式語言,並取實封閉體的代數定義,此時則無法消去量詞(在中考慮公式)。
設是實封閉體,換言之,根據上的量詞消去,上的可定義集只是有限多個線段與孤立點的聯集。此性質稱作O-極小性,它較量詞消去為弱,卻是研究上可定義集的幾何構造之關鍵。
量詞消去也蘊含的可判定性,然而塔斯基給出的演算法其複雜度過高,並不實用。
若承認廣義連續統假設,則可進一步以超積描述實封閉體的性狀。
- Chang, Chen Chung and Keisler, H. Jerome: Model Theory, North-Holland, 1989.
- H. Garth Dales and W. Hugh Woodin: Super-Real Fields, Clarendon Press, 1996.
- Computational Real Algebraic Geometry, Bhubaneswar Mishra, Handbook of Discrete and Computational Geometry, CRC Press, 1997 (Postscript 版本 (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)); 亦見 2004 edition, p. 743, ISBN 1-58488-301-4
- Saugata Basu, Richard Pollack and Marie-Françoise Roy, Algorithms in real algebraic geometry, Springer, Algorithms and computation in mathematics, 2003, ISBN 3540330984 (在線版本)
- Bob F. Caviness, Jeremy R. Johnson, editors, Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition, Springer, 1998, ISBN 3211827943