審斂法
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在數學領域,收斂性判別法是判斷無窮級數收斂、條件收斂、絕對收斂、區間收斂或發散的方法。
判別法列表
通項極限判別法
Quick Facts 無窮級數, 審斂法 ...
無窮級數 | ||||
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如果序列通項的極限不為零或無定義,即,那麼級數不收斂。在這種意義下,部分和是柯西數列的必要條件是極限存在且為零。這一判別法在通項極限為零時無效。
比值審斂法(檢比法)
假設對任何的,
。如果存在
使得:
如果,那麼級數絕對收斂。如果
,那麼級數發散。如果
,比例判別法失效,級數可能收斂也可能發散,此時可以考慮高斯判別法。
設是要判斷審斂性的級數,其中(至少從某一項開始)
。倘若其相鄰項比值
可以被表示為:
其中和
都是常數,而
是一個有界的序列,那麼
- 當
或
時,級數收斂;
- 當
或
時,級數發散。
根值審斂法(檢根法)
其中表示上極限(可能為無窮,若極限存在,則極限值等於上極限)。
如果,級數絕對收斂。如果
,級數發散。如果
,開方判別法無效,級數可能收斂也可能發散。
級數可以與積分式比較來確定其斂散性。令為一正項單調遞減函數。如果:
那麼級數收斂。如果積分發散,那麼級數也發散。
如果是一個絕對收斂級數且對於足夠大的n,有
,那麼級數
也絕對收斂。
如果,並且極限
存在非零,那麼
收斂若且唯若
收斂。
具有以下形式的級數。其中所有的
非負,被稱作交錯級數。如果當
趨於無窮時,數列
的極限存在且等於
,並且每個
小於或等於
(即數列
是單調遞減的),那麼級數收斂。如果
是級數的和
那麼部分和
逼近
有截斷誤差
。
給定兩個實數項數列和
,如果數列滿足
收斂,
是單調且有界的,則級數
收斂。
參閱
參考文獻