完全費米—狄拉克積分

完全費米—狄拉克積分，以恩里科·費米和保羅·狄拉克各取一字命名，已知指數j定義如下

${\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt.}$

Fermi-Dirac Integral animation

Fermi-Dirac Integral complex minus

Fermi-Dirac Integral complex

等於

${\displaystyle -\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),}$

此處${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$為多重對數函數。

特徵值

對j = 0，函數的封閉形式存在：

${\displaystyle F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).\,}$

當${\displaystyle s=1}$，與多重對數函數的值比較：

${\displaystyle \operatorname {Li} _{1}(z)=-\log(1-z).}$

相關

• 非完全費米—狄拉克積分（英語：Incomplete Fermi–Dirac integral）
• Γ函數
• 多重對數函數

參考文獻

Table of Integrals, Series, and Products, I.S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik, 5th edition, p. 370, formula № 3.411.3.

外部連結

• GNU Scientific Library - Reference Manual（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Fermi-Dirac integral calculator for iPhone/iPad（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）