在抽象代數中,體(德語:Körper,英語:Field)是一種具有加法跟乘法的集合(代數結構),且其加法跟乘法運算就如同普通的有理數還有實數。事實上,體正是數體以及四則運算的推廣,所以被廣泛運用在代數、數論等數學領域中。
Quick Facts 「體」的各地常用名稱, 中國大陸 ...
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體是環的一種。但區別在於體要求它的非零元素可以做除法,且體的乘法有交換律。
最有名的體結構的例子就是有理數體、實數體還有複數體。還有其他形式的體,例如有理函數體、代數函數體、代數數體、p進數體等,都很常在數學的領域中被使用或是研究,特別是數論或是代數幾何。此外還有一些密碼學上的安全協定都是依靠著有限體。
在兩個體中的關係被表示成體擴張的觀念。Galois理論,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力於理解體擴展的對稱性。其中Galois理論還有其他結果,解決了不能用尺規作圖做出三等份角以及化方為圓的問題。此外,還解決了五次方程式不能有公式解的問題。
給定集合
,它具有了以下兩種二元運算:
(其中
慣例上簡記為
)
(其中
慣例上簡記為
或
甚至是
)
滿足:
為交換群,且其單位元素為
。
為交換群。
- 分配律:對所有
,
且
。
那稱「
為體」,當二元運算的符號不重要時,亦可將
簡記為
。
(1)體的代號:
有時會基於德語 Körper ,以字母
代稱體,但也會基於英語 Field 以
代稱。
(2)加法與乘法:
習慣上,
被稱為乘法,
的單位元素會記為
,並稱為
的乘法單位元素。
類似地,
被稱為加法,
被稱為體的加法單位元素。所以在省略括弧後,仍依照先乘後加的方式閱讀。
(3)減法與除法:
對於任意
,會依據群的習慣,將
的加法反元素記做
,並將
簡記為
,並可暱稱為減法。
類似地,若
,
的乘法反元素記做
,並將
簡記為
,並可暱稱為除法。
證明
根據分配律和加法單位元素的性質會有
![{\displaystyle a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c44d637450ad60731ebe4e315713cf434c9c94b)
![{\displaystyle 0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3907d709fc1aac0a937c2ed2d13bb7774950b59)
這樣的話,根據加法結合律還有加法單位元素的性質有
故得証。
以上的定理也證明了,只要
為交換群且有分配律,就足以決定
相關乘法的值。所以正式定義中把
排除在乘法的交換群之外是不會有問題的。也就是說
系理 (乘法結合律) —
為體,那對任意
有
![{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20b7d816c39d628055d79d267304ef423ee1df8)
證明
根據乘法交換律跟分配律有
這樣根據定理(1)和加法交換律就有
![{\displaystyle (a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d775d6fcaa4642fcff12a544ea5626352cd60e)
所以
![{\displaystyle -(a\times b)=[(-a)\times b]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc3913794d881f09f968f076999e26fcd801a49)
再考慮到乘法的交換律有
![{\displaystyle -(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c25b6466d64ac9d6ea8ac5b58719801c1b4386c)
故得証。
證明
根據乘法的結合律和交換律,還有乘法單位元素的性質會有
故得証。
證明
如果
,那對任意
都有
,所以以下只考慮
狀況。
假設存在
滿足
和
,但同時
,這樣根據定理(1)和(3)有
這顯然是矛盾的,所以根據反證法和德摩根定理,對所有的
,只能「
其中一者為
」或「
」,也就等價於:
- 「對所有
,若
則
其中一者為
。」
故得証。
- 體F中的所有非零元素的集合(一般記作F×)是一個關於乘法的阿貝爾群。F×的每個有限子群都是循環群。
- 若存在正整數n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n個1),那麼這樣的n中最小的一個稱為這個體的特徵,特徵要麼是一個質數p,要麼是0(表示這樣的n不存在)。此時
中最小的子體分別是
或有限體
,稱之為
的素體。
- 一個交換環是體若且唯若它的理想只有自身和零理想。
- 在選擇公理成立的假設下,對每個體F都存在著唯一的一個體G(在同構意義上),G包含F,G是F的代數擴張,並且G代數封閉。G稱作由F確定的代數閉包。在很多情況下上述的同構並不是唯一的,因此又說G是F的一個代數閉包。
- 許多常見的數體都是體。比如說,全體複數的集合
與其加法和乘法構成一個體。全體有理數的集合
與其加法和乘法也是一個體,它是
的子體,並且不包含更小的子體了。
- 代數數體:代數數體是有理數體
的有限擴張體,也就是說代數數體是
上的有限維向量空間。代數數體都同構於
的子體,並且這個同構保持
不變,即這個同構把每個有理數都映射到它自身。代數數體是代數數論研究的物件。
- 代數數構成的體:所有的代數數的集合對於加法和乘法構成一個體,記作
。
是有理數體
的代數閉包(見下)。
是特徵為零的代數封閉的體的一個例子。
- 全體實數的集合
對於加法和乘法構成一個體。實數體是複數體
的子體,也是一個有序體。後者使得實數體上能夠建立起微積分理論。
- 所有的實代數數的集合也構成一個體,它是
的一個子體
- 任意一個有限體的元素個數是一個質數q的乘方,一般記作Fq,就是所謂的伽羅瓦體。任意一個元素個數是質數q的體都同構於Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的體:F2。F2只含有兩個元素0和1,運算法則如下:
- 設E和F是兩個體,E是F的子體,則F是E的 擴張體。設x是F中的一個元素,則存在著一個最小的同時包含E和x的F的子體,記作E (x),E (x)稱作E在F中關於 x的單擴張。比如說,複數體
就是實數體
在
中關於虛數單位i的單擴張
- 每一個有乘法單位元素的環R都對應著一個包含它的體,稱為它的分式體,記作K(R)。分式體的具體構造方法是定義類似於最簡分數的等價類,再將環「嵌入」其中(詳見分式體)。可以證明,K(R)是包含R的「最小」的體。
- 設F是一個體,定義F (X)是所有以F中元素為係數的分式的集合,則F (X)是F的一個擴張體。F (X)是F上的一個無窮維的向量空間,這是體的超越擴張的一個例子。
- 設F是一個體,p(X)是多項式環F[X]上的一個不可約多項式,則商環F[X]/<p(X)>是一個體。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。舉例來說,R[X]/<X2 + 1>是一個體(同構於複數體
)。可以證明,F的所有單擴張都同構於此類形式的體。
- 若V是體F上的一個代數簇,則所有V → F 的有理函數構成一個體,稱為V的函數體。
- 若S是一個黎曼曲面,則全體S → C 的亞純函數構成一個體。
- 由於序數的類不是集合,因此在其上定義的尼姆數不能構成真正的體。但它滿足體的所有條件,且其任意封閉子集(如小於
的所有自然數構成的子集)都是體。
有限體是一個體有著有限多個元素,其元素個數也跟體的階數相同,按照體的定義,可以知道
為最小的有限體,因為根據定義,一個體至少包含兩個元素
。
通常來說,最簡單的質數階體,就是
,此處
為質數,在這個體上的加法與乘法等同於在整數
上的運算,然後除以
,取它的餘數。這個運算精確的建構了一個體,通常我們將這個體記作
。要注意的是
,當n為合成數時並不是一個有限體,例如在
中
,因此
不能形成群。
如果我們將向量空間
,則我們將V稱作有限體向量空間,其中
,可知這個向量空間中,有
個元素。
如果我們將有限體放入矩陣,也就是
,則此矩陣的元素有
歷史上,三個代數中的學科導引到了體的概念:第一個是解多項式方程式的問題,第二個是代數數論,第三個則是代數幾何的問題。體的概念始於1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他觀察到關於三次方程式的根x1, x2, x3的置換,在以下的表達
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程式的單位根)只產生兩個值。在這方向上,拉格朗日概念上的解釋了由 希皮奧內·德爾·費羅 和 弗朗索瓦·韋達 的經典解法,其解法藉由簡化三次方程式關於未知 x 到一個 x3的二次方程式。四次方程式上也和三次方程式一樣有相似的觀察,拉格朗日因此連結的關於體的概念還有群的概念。數學家范德蒙也同樣在1770年有著更全面的延伸。