在幾何學中,圓內接多邊形是指存在外接圓的多邊形,且該外接圓能使多邊形的所有頂點都位於該圓的邊界上,換句話說若這個多邊形的所有頂點都能位於同一個圓上,則可稱其為圓內接多邊形。所有的三角形都是圓內接多邊形,而四邊形以上的多邊形則不一定。若一四邊形的四個頂點都在同一個圓上則稱為圓內接四邊形。
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性質
若一個奇數邊數的圓內接多邊形,若其所有角度都相等時,則其為正多邊形,反之亦然。而若圓內接多邊形的邊數為偶數,且其所有角度都相等時,則其稜會交錯相等,反之亦然[1]。
圓內接五邊形
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若一圓內接五邊形的邊長和面積皆為有理數,該五邊形稱為羅賓斯五邊形。目前已知的所有羅賓斯五邊形對角線長也皆為有理數[2]。
圓內接四邊形
在一個圓內接四邊形中,相對的兩內角是互補的,它們度數之和為180度[3]。與此等價的說法是,圓內接四邊形的一個內角等於其相對面的角的外角。相對的兩內角互補是圓內接四邊形的充分必要條件,即,圓內接四邊形相對的兩內角互補,且相對的兩內角互補的四邊形是圓內接四邊形(四邊形四頂點共圓或說有四邊形有外接圓)。
點到頂點頂點距離
設A為圓內接多邊形,其為一個n邊形,而其頂點分別為A1 , ..., An,並位於單位圓上,則對位於弧A1An上的任意點M,從頂點到M的距離滿足[4]:p.190,#332.10: