合同矩陣

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關係。兩個矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$是合同的，如果有同數域上的可逆矩陣 ${\displaystyle P}$，使得

${\displaystyle A=P^{\mathrm {T} }BP\,}$。

其中的${\displaystyle P^{\mathrm {T} }}$表示矩陣${\displaystyle P}$的轉置矩陣。

對於二次型的矩陣表示來說，做一次非退化的線性替換相當於將二次型的矩陣變為一個與其合同的矩陣。

在有限維線性空間中同一雙線性函數在不同基下的度量矩陣是合同的。

性質

合同關係是一個等價關係，也就是說滿足：

反身性：${\displaystyle A=I_{n}^{\mathrm {T} }AI_{n}}$

對稱性：${\displaystyle A}$合同於${\displaystyle B}$，則可以推出${\displaystyle B}$合同於${\displaystyle A}$。

傳遞性：${\displaystyle A}$合同於${\displaystyle B}$，${\displaystyle B}$合同於${\displaystyle C}$，則可以推出${\displaystyle A}$合同於${\displaystyle C}$。

合同類矩陣具有相等的秩和正慣性指數，秩和正慣性指數是合同關係下的完全不變量，即如果兩個矩陣合同等價於他們的秩和正慣性指數相等。

由於每個二次型都可以經過線性替換變成若干個平方和的形式，對於矩陣來說，就是每個對稱矩陣都合同於一個對角矩陣，後者稱為一個標準形。根據譜定理，替換的過渡矩陣可以是一個正交矩陣。

如果不考慮替換矩陣的正交性，那麼在複數域中，每個對稱矩陣都合同於一個對角線上元素只由0和1構成的對角矩陣。對角線上的1的個數等於原來的矩陣的秩。因此每個可逆的對稱矩陣都合同於單位矩陣。

在實數域中，根據慣性定理，每個對稱矩陣都合同於一個對角線上元素只由0和正負1構成的對角矩陣。如果設1的個數是p，-1的個數是q，那麼給定(p,q)後，就確定了一個關於合同關係的等價類。數對(p,q)稱為一個對稱矩陣（或相應二次型）的慣性指數其中1的個數p稱為正慣性指數， -1的個數q稱為負慣性指數， p-q叫做符號差。據此可以得出：合同關係將所有的對稱矩陣分為${\displaystyle {(n+2)(n+1) \over 2}}$ 個等價類。

正定二次型

主條目：正定二次型

如果${\textstyle \forall \alpha \in \mathbb {R} ^{n}}$，且${\textstyle \alpha \neq 0}$，都有${\textstyle \alpha ^{'}A\alpha \geq 0}$,那麼這個二次型被稱為半正定的，它對應的對稱矩陣在實數域內合同到一個一個對角線上元素只由0和1構成的對角矩陣。 如果一個二次型的矩陣在實數域內合同於單位矩陣，那麼稱其為正定二次型。一個二次型是半正定二次型若且唯若它的正慣性指數等於它對應的矩陣的秩；是正定二次型若且唯若它的正慣性指數是 n。 正定二次型必然是可逆矩陣，而且它的順序主子式全部大於0。

同樣的可以定義半負定、負定和不定的二次型。

參見

• 合同_(數學)

• 相似矩陣

參考資料

• 北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組，《高等代數》，高等教育出版社，2003年。