Loading AI tools
三維正交坐標系的一種 来自维基百科,自由的百科全书
雙球坐標系(英語:Bispherical coordinates)是一種三維正交坐標系。設定二維雙極坐標系包含於 xz-平面。設定這雙極坐標系的兩個焦點 與 包含於 z-軸。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉,則可以得到雙球坐標系。在這二維雙極坐標系裏,坐標 的等值曲線是圓圈。 經過旋轉後,圓圈變成一個環面,而圓圈的圓心變成一個包含於 xy-平面的圓圈,稱為環心圓。稱環心圓至環面的距離為環小半徑。
在三維空間裏,一個點 P 的雙球坐標 最常見的定義是
其中, 是直角坐標, 坐標是 的弧度, 坐標是點 P 離兩個焦點的距離 與 的比例的自然對數:
每一個紅色的 -坐標曲面都是包含了兩個焦點 與 環面。,每一個環面的環心圓都不相同。這些環心圓都包含於 xy-平面。環小半徑為
當絕對值 增加時,環小半徑會減小,環心圓會靠近原點。當環心圓與原點同點時, 達到最大值 。
每一個藍色的 -坐標曲面都是不相交的圓球面。每一個圓球面都包圍著一個焦點;圓球心都包含於 z-軸。圓球半徑為
它們的圓球心都包含於 z-軸。正值 的圓球面在 半空間;而負值 的圓球面在 半空間。 曲線則與 xy-平面同平面。當 值增加時,圓球面的半徑會減少,圓球心會靠近焦點。
雙球坐標 可以用直角坐標 來表示。方位角 的公式為
點 P 與兩個焦點之間的距離是
是 與 的比例的自然對數:
如圖 3 , 是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 之間的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算:
雙球坐標 與 的標度因子相等:
方位角的標度因子為
無窮小體積元素是
其它微分算子,像 , ,都可以用 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。
雙球坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式裏,雙球坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是,有兩個不同半徑的圓球導體,請問其周圍的電位與電場為什麼?應用雙球坐標,我們可以精緻地分析這個問題。
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.