在環中,所有可逆元素叫環的單位,所有單位對乘法可構成一個乘法群,叫環的單位群。對環(域)來說,單位群所有元素,和環(域)的所有元素有多少相同,有多少不同,可由環的素理想,分式理想,理想類群來度量。
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整數環Z的單位只有1,-1,單位群同構於循環群C2。模n 的剩餘類環Zn單位群記為U(Zn)。僅有U(Z3),U(Z4),U(Z6),U(Z8),U(Z12),U(Z24)非單位元的階均為2;非單位元的階均為其他素數p(p > 2)的單位群不存在。
單位
算術基本定理說明Z環的乘法結構為:每一個非零整數可以表為唯一的若干素數次冪和±1乘。這對OK的理想的唯一分解對一部分理想正確,不能全正確是因為±1,因為整數1和-1是Z環的可逆元素(即單位,兩者組成一個乘法群叫單位群,記為Z×,是個2階循環群)。更普遍的是,在OK的形式下全部素元乘法可逆組成一個乘法群,記為O×,群素元稱為OK的單位,這個群比2階循環群Z×階大。由狄利克雷單位定理可得:單位群是交換群。更確切的有伽羅瓦模形式:
- OK Z⊕r⊕(有限循環群)。
例子
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由在線GNU項目sagemath.org可容易看出2次域單位的判別式、類數、因子分解等各種情況。
- Q7:=QuadraticField(-11);Q7;
- O7:=MaximalOrder(Q7);O7;
- Discriminant(Q7) ;
- ClassGroup(Q7);
- a:=O7!5;a;
- aa:=O7!500;aa;
- Factorization(a);
- Factorization(aa);
- Q17:=QuadraticField(17);Q17;
- FundamentalUnit(Q17);
- Discriminant(Q17) ;
- ClassGroup(Q17);
- Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 + 11 over the Rational Field
- Maximal Order of Q7
- -11
- Abelian Group of order 1
- Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of O7
- 5
- 500
- [ <$.2 + 1, 1>, <-$.2 + 2, 1> ]
- <-1, 0>
- [ <2, 2>, <$.2 + 1, 3>, <-$.2 + 2, 3> ]
- <-1, 0>
- Quadratic Field with defining polynomial $.1^2 - 17 over the Rational Field
- -Q17.1 + 4
- 17
- Abelian Group of order 1
- Mapping from: Abelian Group of order 1 to Set of ideals of Maximal Order of Q17
參考連結
- 居騰霞, 王立周. 模n的剩余类环的单位群U(Z_n). 南通大學學報(自然科學版). 2011年4月 [2012-04-21]. (原始內容存檔於2016-03-04).
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