十二進制

十二進制，也叫作打進制，是數學中一種以12為底數的記數系統，通常使用數字0~9以及字母A、B（或X、E）來表示。其中，A（或X）即數字10，B（或E）即數字11。美國速記發明人艾薩克·皮特曼還曾創造過一種標記法，使用翻轉的2和3來表示10和11。十二進制中的10代表十進制的12，也稱為一打。同樣的，十二進制的100代表十進制的144（=12²），也稱為一籮；十二進制的1000代表十進制的1728（=12³），也稱為一大籮；而十二進制的0.1則代表十進制的${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}$。

12是最小的過剩數也是一個高合成數，2、3、4、6都是它的因子。正因為如此，有些情況下十二進制比十進制更易於使用（除了1和10本身，10只有2、5是它的因子）。另外，由於它的因子2和3都是質數，所有只含有質因子2和3的整數（即3-光滑數，如2、3、4、6、8、9、12、16、18……）的倒數在十二進制中都是有限小數。而五個最常用的分數（${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$、${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$、${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$、${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$和${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$）在十二進制中也都有非常簡單的表示形式（分別為0.6、0.4、0.8、0.3和0.9等只有一位小數的形式）。12是擁有這一性質的最小的底數。在表示分數方面，除了六十進制外，十二進制要比其他常用的進制（諸如十進制、二進制、二十進制、八進制和十六進制）都更為方便。

數秘學家認為12是完整的數目，這反映在一年有12個月、十二小時制、十二星座、耶穌十二門徒、奧林匹斯十二主神等。

應用

曆法

16世紀木版畫中的十二宮

歷史上，在很多古老文明中都使用十二進制來記時。這或許是由於一年中月球繞地球轉十二圈，也有人認為這和人類一隻手有十二指骨節點有關（不包括姆指），這樣方便記數。^[1]如古埃及文明就將白天夜晚分別劃分為12部分，而從古巴比倫文明傳承到西方文化中的黃道十二宮則是將一年分為了12個星座。

在中國文化中，十二進制在記時中也有廣泛應用。中國古代設有12地支，與一天的12個時辰對應。一個地支還對應兩個節氣，從而表示一年的二十四節氣。同時，將地支與12種動物對應，成為十二生肖，來表示12年為週期的循環。

度量衡

十二進制在各種度量衡中也經常會使用。如英制單位中一英尺等於12英寸，金衡制中一金衡磅等於12金衡盎司。

歷史上，古羅馬帝國曾使用的Uncia，既是長度單位也是貨幣單位，其在拉丁文中的含義是${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}$。而在推行十進制系統前，古代英國使用的十二進制與二十進制混合的貨幣系統，其中一先令等於12便士。

語言

使用十二進制的語言並不常見，其中包括奈及利亞中部地帶（Middle Belt）的一些語言如Janji、Gbiri-Niragu（Kahugu）、關達拉語（Gwandara）方言Nimbia，^[2]尼泊爾的車旁語（Chepang），^[3]以及印度米尼科伊島的迪維希語。在小說中，托爾金的精靈語用的也是十二進制。

日耳曼語族的語言對數字11和12都有特殊的對應單詞，如英語中的eleven和twelve、德語中的elf和zwölf，導致這些語言常被誤解為是基於十二進制的。事實上，從語源學上來看，兩者來自原始日耳曼語中的*ainlif和*twalif，字面含義為「剩下一個」和「剩下兩個」，因此這些語言都是基於十進制的。

乘法表

比起十進制的九九乘法表，十二進制的乘法表更大。

十二進制乘法表

1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
2	4	6	8	A	10	12	14	16	18	1A	20
3	6	9	10	13	16	19	20	23	26	29	30
4	8	10	14	18	20	24	28	30	34	38	40
5	A	13	18	21	26	2B	34	39	42	47	50
6	10	16	20	26	30	36	40	46	50	56	60
7	12	19	24	2B	36	41	48	53	5A	65	70
8	14	20	28	34	40	48	54	60	68	74	80
9	16	23	30	39	46	53	60	69	76	83	90
A	18	26	34	42	50	5A	68	76	84	92	A0
B	1A	29	38	47	56	65	74	83	92	A1	B0
10	20	30	40	50	60	70	80	90	A0	B0	100

與十進制的相互轉換

註：下標₁₂表示該數為十二進制，無下標則表示該數為十進制。

十二進制轉十進制

十二進制到十進制的轉換可按下面的例子進行：

${\displaystyle 123456.78_{12}=1\times 12^{5}+2\times 12^{4}+3\times 12^{3}+4\times 12^{2}+5\times 12^{1}+6\times 12^{0}+7\times 12^{-1}+8\times 12^{-2}}$

${\displaystyle =248832+41472+5184+576+60+6+0.58{\dot {3}}+0.05{\dot {5}}=296130.63{\dot {8}}}$

十進制轉十二進制

十進制到十二進制的轉換可按下面的例子進行：

123456 ÷ 12 = 10288 ... 0
 10288 ÷ 12 =   857 ... 4
   857 ÷ 12 =    71 ... 5
    71 ÷ 12 =     5 ... 11 (B)
     5 ÷ 12 =     0 ... 5

將最右排的數從下往上依次寫下，即得到123456 = 5B540₁₂。

分數與無理數

分數

在十二進制中，很多分數能表示成有限小數的形式：

• 1/2 = 0.6
• 1/3 = 0.4
• 1/4 = 0.3
• 1/6 = 0.2
• 1/8 = 0.16
• 1/9 = 0.14
• 1/10 = 0.1
• 1/14 = 0.09
• 1/16 = 0.08
• 1/20 = 0.06
• 1/23 = 0.054
• 1/28 = 0.046
• 1/30 = 0.04
• 1/40 = 0.03
• 1/46 = 0.028
• 1/54 = 0.023
• 1/60 = 0.02
• 1/69 = 0.0194
• 1/80 = 0.016
• 1/90 = 0.014
• 1/A8 = 0.0116
• 1/100 = 0.01

這些分數的共同特點是他們的分母都可以寫成${\displaystyle 2^{i}3^{j}}$的形式，換句話說，他們的分母都是3-光滑數。

倍數判別法

以下為在12進制中倍數的判別方法，由於小於12且與12互質的數只有1,5,7,11，而由於任何數都是1的倍數，且5²=2x12+1,7²=4x12+1，故5與7的倍數很好判別，而由於11=12-1，因此可仿照十進制中9的倍數之判別方式，來判別十二進制中11的倍數。

數字	其倍數判別法
1	任何數都是1的倍數
2	個位數為0,2,4,6,8,A
3	個位數為0,3,6,9
4	個位數為0,4,8
5	每兩位一區間，奇數區間之和減去偶數區間之和為5的倍數(因為5可整除101)，當少於或等於兩位時，就把個位數乘以2再與其他位數相減(因為5可整除21)
6	個位數為0,6
7	每三位一區間，奇數區間之和減去偶數區間之和為7的倍數(因為7可整除1001)，當少於或等於三位時，就把個位數乘以4再與其他位數相減(因為7可整除41)
8	末兩位為8的倍數
9	末兩位為9的倍數
A	2與5的倍數
B	各位數字和為B的倍數
10	末尾為0
11	奇數位數與偶數位數之差為11的倍數
12	2與7的倍數
13	3與5的倍數
14	末兩位為14的倍數
15	個位乘以7再與其他位數相減(因15可整除71)，照此反覆做下去，若最後得到的結果是15的倍數的話就是，否則就不是！
16	末兩位為16的倍數
17	每三位一區間，奇數區間之和減去偶數區間之和為17的倍數(因為17可整除1001)，當少於或等於三位時，就把個位數乘以8再與其他位數相加(因為17可整除7B)
18	4與5的倍數
19	3與7的倍數
1A	2與B的倍數
1B	個位乘以2再與其他位數相加(因1B可整除1B)，照此反覆做下去，若最後得到的結果是1B的倍數的話就是，否則就不是！
20	個位數為0，十位數為偶數

十二進制中的水仙花數

可以證明，十二進制中的水仙花數有87個，其中最大的水仙花數是一個51位數。（見 A161949）

25:2²+5²=25
A5:A²+5²=A5
577:5³+7³+7³=577
668:6³+6³+8³=668
A83:A³+8³+3³=A83

顯然，任何一位數(從1到B)都是水仙花數，另外，在十二進制中，不存在四位數的水仙花數。

循環小數

通常，日常生活中遇到與3或4有關的除法問題比起與5有關的更多，因而如果使用十二進制來計數比起十進制遇到循環小數的可能性更小。這也是有些人支持十二進制的原因，他們認為既然一年有十二個月（一天有十二時辰，半天有十二小時），使用十二進制在財務問題的計算上會方便很多。

但在真正遇到循環小數的時候，十二進制的表示比起十進制通常又會有更長的循環項。這是因為12位於兩個質數11和13之間，而10則與一個合數9相鄰。儘管如此，在更多的情況下我們都對數字進行修約，這點上的區別並不是那麼明顯。另外，由於12的因子分解中2出現了兩次，而10隻有一次，因而對於大多分母是2的冪的分數，十二進制的表示形式更簡短。如1/2² = 0.25 = 0.3₁₂，1/2³ = 0.125 = 0.16₁₂，1/2⁴ = 0.0625 = 0.09₁₂，1/2⁵ = 0.03125 = 0.046₁₂，1/2⁶ = 0.015625 = 0.023₁₂，1/2⁷ = 0.0078125 = 0.0116₁₂，1/2⁸ = 0.00390625 = 0.0069₁₂，1/2⁹ = 0.001953125 = 0.00346₁₂，1/2¹⁰ = 0.0009765625 = 0.00183₁₂，1/2¹¹ = 0.00048828125 = 0.000A16₁₂，1/2¹² = 0.000244140625 = 0.000509₁₂等等。

十進制 底數的質數因子： 2, 5			十二進制 底數的質數因子：2, 3
分數	分母的質數因子	小數表示	小數表示	分母的質數因子	分數
1/2	2	0.5	0.6	2	1/2
1/3	3	0.3333... = 0.3	0.4	3	1/3
1/4	2	0.25	0.3	2	1/4
1/5	5	0.2	0.24972497... = 0.2497	5	1/5
1/6	2, 3	0.16	0.2	2, 3	1/6
1/7	7	0.142857	0.186A35	7	1/7
1/8	2	0.125	0.16	2	1/8
1/9	3	0.1	0.14	3	1/9
1/10	2, 5	0.1	0.12497	2, 5	1/A
1/11	11	0.09	0.1	B	1/B
1/12	2, 3	0.083	0.1	2, 3	1/10
1/13	13	0.076923	0.0B	11	1/11
1/14	2, 7	0.0714285	0.0A35186	2, 7	1/12
1/15	3, 5	0.06	0.09724	3, 5	1/13
1/16	2	0.0625	0.09	2	1/14
1/17	17	0.0588235294117647	0.08579214B36429A7	15	1/15
1/18	2, 3	0.05	0.08	2, 3	1/16
1/19	19	0.052631578947368421	0.076B45	17	1/17
1/20	2, 5	0.05	0.07249	2, 5	1/18
1/21	3, 7	0.047619	0.06A3518	3, 7	1/19
1/22	2, 11	0.045	0.06	2, B	1/1A
1/23	23	0.0434782608695652173913	0.06316948421	1B	1/1B
1/24	2, 3	0.0416	0.06	2, 3	1/20
1/25	5	0.04	0.05915343A0B62A68781B	5	1/21
1/26	2, 13	0.0384615	0.056	2, 11	1/22
1/27	3	0.037	0.054	3	1/23
1/28	2, 7	0.03571428	0.05186A3	2, 7	1/24
1/29	29	0.0344827586206896551724137931	0.04B7	25	1/25
1/30	2, 3, 5	0.03	0.04972	2, 3, 5	1/26
1/31	31	0.032258064516129	0.0478AA093598166B74311B28623A55	27	1/27
1/32	2	0.03125	0.046	2	1/28
1/33	3, 11	0.03	0.04	3, B	1/29
1/34	2, 17	0.02941176470588235	0.0429A708579214B36	2, 15	1/2A
1/35	5, 7	0.0285714	0.0414559B3931	5, 7	1/2B
1/36	2, 3	0.027	0.04	2, 3	1/30
1/37	37	0.027	0.03A85232B	31	1/31
1/38	2, 19	0.0263157894736842105	0.0395826	2, 17	1/32
1/39	3, 13	0.025641	0.038	3, 11	1/33
1/40	2, 5	0.025	0.037249	2, 5	1/34

無理數

無論對於十進制、十二進制還是其他以有理數為底數的記數系統，所有的無理數都只能表示成無限不循環小數。下表列出了一些代數無理數和超越無理數的十進制與十二進制的表示。

代數數	十進制	十二進制
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	1.41421356237309... (≈ 1.414)	1.4B79170A07B857... (≈ 1.4B8)
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	1.73205080756887... (≈ 1.732)	1.894B97BB968704... (≈ 1.895)
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	2.2360679774997... (≈ 2.236)	2.29BB132540589... (≈ 2.2A)
φ（黃金分割，${\displaystyle ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$）	1.6180339887498... (≈ 1.618)	1.74BB6772802A4... (≈ 1.75)
超越無理數	十進制	十二進制
π（圓周率）	3.1415926535897932384626433 8327950288419716939937510... (≈ 3.1416)	3.184809493B918664573A6211B B151551A05729290A7809A492... (≈ 3.1848)
e（自然對數的底）	2.718281828459045... (≈ 2.718)	2.8752360698219B8... (≈ 2.875)

下面是另一個重要常數歐拉-馬歇羅尼常數在十進制與十二進制中的表示（現在仍無法確定其是有理數還是無理數）：

數	十進制	十二進制
γ（歐拉-馬歇羅尼常數）	0.57721566490153... (~ 0.577)	0.6B15188A6760B3... (~ 0.6B1)

支持

F·愛默生·安德魯斯（F. Emerson Adnrews）在其1935年出版的著作《新的數字：接受十二進制使數學更簡單》（New Numbers: How Acceptance of Duodecimal Base Would Simplify Mathematics）中詳細地提出了一種基於十二進制的體系。安德魯斯寫到，由於12的因子在許多傳統度量衡中很普遍，很多所謂米制在計算上的優勢在十二進制中同樣存在。

十二進制和十六進制與二十進制一樣，一般都都以A代表10，而B代表11。而安德魯斯在他的書中提出了一種新的方案，使用手寫體的X和E，即${\displaystyle x\!}$(U+1D4B3)和${\displaystyle {\mathcal {E}}\!}$(U+2130)來分別代表10和11。原因是這兩個符號能與其他的字母與數字很好地區別開，同時${\displaystyle x\!}$和X（即羅馬數字10）很相像，而${\displaystyle {\mathcal {E}}\!}$則是單詞eleven（即英文11）的首字母。

另一種知名的標記方法是艾薩克·皮特曼提出的，它主張用翻轉的2表示10，水平翻轉的3代表11（也就是${\displaystyle {\mathcal {E}}\!}$）。這一方案被大不列顛十二進制協會（Donzel Society of Great Britain）所採用，其優勢是與現有數字相似，比較容易辯認。而美國十二進制協會則用星號*和井號#分別代表10和11，原因在於*類似加上刪除線的X、#類似加上雙刪除線的11，而且兩者正好都能在電話撥號盤上找到。然而，批評者則指責說這些符號看起來完全不像數字。還有些系統用ɸ表示10（1與0的合體）以及交叉的十字+、x、或者†表示11。而所有這些符號的缺點是無法在計算器上通過七段LED數碼管來顯示（${\displaystyle {\mathcal {E}}\!}$是個例外，但很多計算器上已經用E來表示錯誤資訊了）。不過，10和11本身倒是能夠在一個數碼內顯示（11顯然可以，10需要進行翻轉，如同O加上了長音符號，即ō或0）。A和B也可以做到這一點，只是B需要改用小寫的b。

在美國動漫教學片《校舍搖滾》（Schoolhouse Rock!）的一集中，描繪了一個外星小孩使用十二進制算術的場景，分別用dek、el和doh作為10、11和12的名稱，還使用安德魯斯的符號${\displaystyle x\!}$和${\displaystyle {\mathcal {E}}\!}$來表示10和11。（dek來自前綴deca，el是eleven的縮寫，而doh是dozen的縮寫）

美國十二進制協會和大不列顛十二進制協會都在促進十二進制在更大範圍內的使用。他們還使用dozenal替代duodecimal（英語：十二進制），原因是後者來自拉丁語詞根，用十進制的方法來表示12，即將12拆為了2和10。

知名數學家亞歷山大·艾特肯（Alexander Craig Aitken）曾說「十二進制比十進制更易於掌握，使用十二進制進行計算會比用十進制快一半以上」，^[4]他還說如果十二進制的效率是100分的話，十進制只有65分或更低。^[5]

在里奧·弗蘭克斯基（Leo Frankowski）的小說《康拉德·施塔加德》（Conrad Stargard）中，康拉德在商人中引入了一種十二進制的體系，其中的買賣都是以一打或一籮作為單位來計數的。他還發明了一整套十二進制的計量單位制，包括每天只有12個小時的時鐘。

支持過十二進制的還包括赫伯特·斯賓塞、約翰·昆西·亞當斯和蕭伯納等。^[6]

參考

1. Nishikawa, Yoshiaki, ヒマラヤの満月と十二進法 (The Full Moon in the Himalayas and the Duodecimal System), 2002 [2008-03-24], （原始內容存檔於2008-03-29）
2. Matsushita, Shuji, Decimal vs. Duodecimal: An interaction between two systems of numeration, 2nd Meeting of the AFLANG, October 1998, Tokyo, 1998 [2008-03-17], （原始內容存檔於2008-10-05）
3. Mazaudon, Martine, Les principes de construction du nombre dans les langues tibéto-birmanes, François, Jacques (編), La Pluralité (PDF), Leuven: Peeters: 91–119, 2002 [2010-01-27], ISBN 9042912952, （原始內容存檔 (PDF)於2010-08-27）
4. Basic Stuff. [2010-01-27]. （原始內容存檔於2010-05-20）.
5. The Case against Decimalisation (PDF). [2010-01-27]. （原始內容存檔 (PDF)於2011-10-08）.
6. Weisstein, Eric W. (編). Duodecimal. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2010-01-27]. （原始內容存檔於2010-05-20） （英語）.