分配律(distributive property)是二元運算的一個性質,它起源於基本代數運算,同時部分抽象代數運算亦符合該定律
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設
及
是定義在集合
上的兩個二元運算,我們說
對於
滿足左分配律,如果:
;
對於
滿足右分配律,如果:
;
- 如果
對於
同時滿足左分配律和右分配律,那麼我們說
對於
滿足分配律。
如果
滿足交換律,那麼以上三條語句在邏輯上是等價的。
- 包括實數,自然數、複數和基數中的乘法都對加法滿足分配律。
- 實數及複數中的除法都對加法滿足右分配律,但不滿足左分配律。
- 序數的乘法對加法只滿足左分配律,不滿足右分配律。
- 矩陣乘法對矩陣加法滿足分配律(但不滿足交換律)。
- 集合的聯集對交集滿足分配律,交集對聯集也滿足分配律。另外,交集對對稱差也滿足分配律。
- 邏輯析取對邏輯合取滿足分配律,邏輯合取對邏輯析取也滿足分配律。另外,邏輯合取對邏輯互斥或也滿足分配律。
- 對於實數(或任何全序集合),最大值對最小值滿足分配律,反之亦然:
![{\displaystyle \operatorname {max} (a,\operatorname {min} (b,c))=\operatorname {min} (\operatorname {max} (a,b),\operatorname {max} (a,c))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90556a3f4a9826d754c968e539c40d4a1319da6)
。
![{\displaystyle \operatorname {gcd} (a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\operatorname {gcd} (a,b),\operatorname {gcd} (a,c))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95acf648c6852eb4358edde72584bfc903a46f3)
。
- 對於實數,加法對最大值滿足分配律,對最小值也滿足分配律:
![{\displaystyle a+\operatorname {max} (b,c)=\operatorname {max} (a+b,a+c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814d7a644fd59fa0ec8ed297e9605ab4100b92dd)
。