克萊恩-戈登方程式

克萊恩-戈登方程式（Klein-Gordon equation）是相對論量子力學和量子場論中的最基本方程式，它是薛丁格方程式的狹義相對論形式，用於描述自旋為零的粒子。克萊恩-戈登方程式是由瑞典理論物理學家奧斯卡·克萊恩和德國人沃爾特·戈登於二十世紀二三十年代分別獨立推導得出的。

陳述

克萊恩-戈登方程式為

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0}$。

很多時候會用自然單位（c=ħ=1）寫成

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

由於平面波為此方程式已知的一組解，所以方程式形式由它決定：

${\displaystyle \psi =e^{-i\omega t+ik\cdot x}=e^{ik_{\mu }x^{\mu }}}$

遵從狹義相對論的能量動量關係式

${\displaystyle -p_{\mu }p^{\mu }=E^{2}-P^{2}=\omega ^{2}-k^{2}=-k_{\mu }k^{\mu }=m^{2}\,}$

跟薛丁格方式不同，每一個k在此都對應著兩個${\displaystyle \omega }$，只有通過把頻率的正負部份分開，才能讓方程式描述到整個相對論形式的波函數。若方程式在時間流逝下不變，則其形式為

${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\psi (\mathbf {r} )=0}$。

相對論量子力學下的形式推導

自由粒子的薛丁格方程式是非相對論量子力學的最基本方程式：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}\psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi }$

其中${\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \mathbf {\nabla } }$是動量算符。

薛丁格方程式並非相對論協變的，意味著它不滿足愛因斯坦的狹義相對論。

利用狹義相對論中的相對論能量公式 ${\displaystyle E={\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$ 替換薛丁格方程式左邊的動能${\displaystyle {\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}}$項，最終可得它的協變形式：

${\displaystyle (\Box ^{2}+\mu ^{2})\psi =0.}$

其中${\displaystyle \mu ={\frac {mc}{\hbar }}\,}$，達朗貝爾算符${\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\,}$.

從相對論量子力學的觀點來看，達朗貝爾算符的出現意味著克萊恩-戈登方程式是一個量子力學的波方程式。

量子場論下的形式推導

場論中，對於自旋為零的場（純量場），拉格朗日量被寫成

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$

這裡依照量子場論的習慣選取了自然單位，將光速${\displaystyle c}$和普朗克常數${\displaystyle \hbar }$都取作1。

代入歐拉-拉格朗日方程式${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\phi )}}=0,}$可直接得到克萊恩-戈登方程式。

從量子場論的觀點來看，以上推導過程都在古典場論的範圍之內，因此克萊恩-戈登方程式只是一個古典場的場方程式。

自由粒子解

相對論量子力學中自由粒子只是一個理想化的概念，但形如克萊恩-戈登方程式這樣的波方程式仍然具有形式上的平面波解：

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$

其中${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}.}$

從克萊恩-戈登方程式得出的能量本徵值為

${\displaystyle E=\pm {\sqrt {\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}$

因而克萊恩-戈登方程式的解包含了負能量。同時，由這個解導出相應的機率密度也不能保證是正值。這兩個問題使得克萊恩-戈登方程式在很長一段時間裡被認為是缺乏物理意義的。英國物理學家保羅·狄拉克為了確保機率密度具有物理意義建立了狄拉克方程式，但這個方程式仍然沒有避免出現負能量。

行波解

克萊恩-戈登方程式有行波解^[1]

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  Klein Gordon equation traveling wave plot4
• 
  Klein Gordon equation traveling wave plot5
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  Klein Gordon equation traveling wave plot6

參見

• 狄拉克方程式
• 量子場論

參考資料

1. 83.Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple p64-72 Springer

參考文獻

• Sakurai, J. J. (1967). Advanced Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-06710-2.
• Greiner, W. (1990). Relativistic Quantum Mechanics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-67457-8.