超無限邊形

在幾何學中，偽多邊形（英語：pseudogon）又稱為超無限邊形，是一種位於雙曲平面上的無限邊形，具有超無限邊形群（英語：Coxeter_notation#Rank two groups）（pseudogonal group）的對稱性，諾曼·約翰遜（英語：Norman Johnson (mathematician)）將一般的發散鏡射形式的無限邊形稱為超無限邊形，其外接圓為極限圓，正超無限邊形在施萊夫利符號中用${\displaystyle \left\{{\frac {i\pi }{\lambda }}\right\}}$表示，其中${\displaystyle \lambda }$表示發散垂直鏡射的週期距離^[1]，用來表示其拓撲結構具有比無限邊形更多的邊與頂點，換句話說，若其不為發散鏡射形式則只能看做為普通的無限邊形，也因此超無限邊形無法在平面上存在。此外，偽多邊形也可以解釋為未完全具備多邊形性質的多邊形^[2]，此種情況下未必需要位於雙曲面，這種偽多邊形其英文也可以寫為pseudo polygon^[3][4]。

偽多邊形 超無限邊形
超無限邊形（Pseudogon） 雙曲正無限邊形 雙曲面上的超無限邊形。
類型	正多邊形 二維雙曲鑲嵌
對偶	自身對偶
邊	${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \infty }$
頂點	${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \infty }$
施萊夫利符號	${\displaystyle \left\{{\frac {i\pi }{\lambda }}\right\}}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）
對稱群	${\displaystyle \left[{\frac {i\pi }{\lambda }}\right]}$
內角（度）	雙曲平角
特性	非嚴格凸, 圓內接多邊形, 等邊多邊形, 等角多邊形, 雙曲線, 發散

正超無限邊形

位於三階超無限邊形（iπ/λ，λ=π/9）的超無限邊形與其外接圓超圓形。

正超無限邊形（英語：regular pseudogon）又稱雙曲正無限邊形，是雙曲線${\displaystyle H^{1}}$（並非歐幾里得線）分割為每段長度為${\displaystyle 2\lambda }$線段形成的無限邊形，為具有${\displaystyle \left[{\frac {i\pi }{\lambda }}\right]}$考克斯特群的羅氏無限邊形，可以視為正無限邊形的一種類似物。^[5]依據其考克斯特群，其邊數和頂點數將會是${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$個，事實上它頂點數為正無窮大，邊長為${\displaystyle 2\lambda }$，其中${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$用來表示超平形（ultraparallel）的鏡射，虛數值使鏡射變換的角度以一個雙曲線的形式，而存在等式${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\cos \left({\frac {\pi \lambda }{i\pi }}\right)=\cosh(2\lambda )}$，而${\displaystyle \lambda \in \left\{{\frac {\pi }{n}}\mid n\in {\mathbb {Z}}\right\}}$。

其亦可以視為二維空間的雙曲密鋪，和三維雙曲密鋪如：正七邊形鑲嵌、七階三角形鑲嵌等，做類比^[6]。其屬於非緊湊空間。

正超無限邊形無法在平面上存在，但可以構造在雙曲面。其可以擁有外接圓和內切圓，但他們必須是雙曲超圓形。

扭歪超無限邊形

扭歪超無限邊形（英語：Skew pseudogon）是超無限邊形對應的扭歪多邊形，即位於非緊雙曲空間的雙曲扭歪無限邊形。

圍繞著超無限邊形的三角形也可以構造出等邊扭歪超無限邊形

外接圓為超圓形的無限邊形

{3,7}的皮特里多邊形	t{3,7}的皮特里多邊形
正扭歪	半正扭歪

鑲嵌與密鋪

正超無限邊形不能構成平面鑲嵌，但可以構成雙曲鑲嵌，如三階超無限邊形鑲嵌，其考克斯特記號計為。該鑲嵌可以視為超無限邊形在三維空間的類比，稱為偽多面體（pseudohedron）。

二個超無限邊形即可完全鑲嵌整個雙曲平面，稱為二階超無限邊形鑲嵌。

羅式鑲嵌

正		半正
∞.∞	2∞	4.4.∞	3.3.3.∞
{iπ/λ, 2}	{2, iπ/λ}	t{2, iπ/λ}	sr{2, iπ/λ}

半正超無限邊形

對稱群：[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2)							[iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
{9i,9i} 超無限階 超無限邊形鑲嵌	t{9i,9i} 截角超無限階 超無限邊形鑲嵌	r{9i,9i} 截半超無限階 超無限邊形鑲嵌	2t{9i,9i}=t{9i,9i} 截角超無限階 超無限邊形鑲嵌	2r{9i,9i}={9i,9i} 超無限階 超無限邊形鑲嵌	rr{9i,9i} 小斜方截半 超無限階 超無限邊形鑲嵌	tr{9i,9i} 大斜方截半 超無限階 超無限邊形鑲嵌	sr{9i,9i} 扭稜超無限階 超無限邊形鑲嵌

[iπ/λ,3]非緊湊雙曲半正鑲嵌系列

對稱群：[iπ/λ,3], (*∞32)								[iπ/λ,3]+ (∞32)	[1+,iπ/λ,3] (*∞33)		[iπ/λ,3+] (3*∞)
考克斯特記號
			=	=	=				= or	= or	=
圖像
頂點圖	∞.∞.∞	3.∞.∞	3.∞.3.∞	∞.6.6	3∞	3.4.∞.4	4.6.∞	3.3.3.3.∞	3.∞.3.∞.3.∞
類比	{∞,3}	t{∞,3}	r{∞,3}	t{3,∞}	{3,∞}	rr{∞,3}	tr{∞,3}	sr{∞,3}	h{∞,3}	h2{∞,3}	s{3,∞}
半正對偶
考克斯特記號
圖像
頂點布局 類比	V∞3	V3.∞.∞	V(3.∞)2	V6.6.∞	V3∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V(3.∞)3		V3.3.3.3.3.∞

高維類比

三階七邊形鑲嵌蜂巢體的龐加萊模型，每個洞都是一個正七邊形鑲嵌^[7]

偽多面體（pseudohedron）是超無限邊形在三維空間的類比，即在三維非緊雙曲空間中的無限面體，又稱為超無限面體。例如三階七邊形鑲嵌蜂巢體中的正七邊形鑲嵌，由於要使每個頂點都是3個正七邊形鑲嵌的公共頂點使得圖形被變換到非緊雙曲空間中，即幾何中心跑到龐加萊模型外，其外接球為三維雙曲極限球。

超無限胞體（pseudotope）則為非緊雙曲鑲嵌在四維或更高維度類比，例如四階一百二十胞體堆砌（英語：Order-4 120-cell honeycomb）^[8]。

但嚴格來說，偽多胞形（pseudotope）只會在二維雙曲空間討論，由於二維的考克斯特群表達到無窮之後仍為平面，因此只能用雙曲鏡射的方式以虛數表達雙曲幾何圖形。

群	赫爾曼莫金記號	軌道流形（英語：Orbifold）	考克斯特	考克斯特圖	階
有限
Zn	n	n•	[n]+		n
Dn	nm	*n•	[n]		2n
仿射
Z∞	∞	∞•	[∞]+		∞
Dih∞	∞m	*∞•	[∞]		∞
雙曲
Z∞			[πi/λ]+		∞
Dih∞			[πi/λ]		∞

參見

• 正圖形列表