佩爾數

佩爾數是一個自古以來就知道的整數數列，由遞迴關係定義，與斐波那契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比的冪成正比。它出現在2的主平方根的近似值以及三角平方數的定義中，也出現在一些組合數學的問題中。

定義

佩爾數由以下的遞迴關係定義：

${\displaystyle P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

也就是說，佩爾數的數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都是前面的數的兩倍加上再前面的數。最初幾個佩爾數是：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。

佩爾數也可以用通項公式來定義：

${\displaystyle P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

對於較大的n，${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}}$的項起主要作用，而${\displaystyle \scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}}$的項則變得微乎其微。因此佩爾數大約與白銀比${\displaystyle \scriptstyle (1+{\sqrt {2}})}$的冪成正比。

第三種定義是以下的矩陣公式：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.}$

從這些定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下的恆等式，與斐波那契數的卡西尼恆等式類似：

${\displaystyle P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},}$

這個恆等式是以上矩陣公式的直接結果（考慮矩陣的行列式）。

2的主平方根的近似值

佩爾數出現在2的主平方根的有理數近似值中。如果兩個大的整數x和y 是佩爾方程式的解：

${\displaystyle \displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,}$

那麼它們的比${\displaystyle {\tfrac {x}{y}}}$就是${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$的一個較精確的近似值。這種形式的近似值的數列是：

${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots }$

其中每一個分數的分母是佩爾數，分子則是這個數與前一個佩爾數的和。也就是說，佩爾方程式的解具有${\displaystyle {\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}}$的形式。${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}}$是這些近似值中的第八個，在公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀的古希臘數學家也知道這個近似值的數列；他們把這個數列的分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

這些近似值可以從${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$的連分數展開式推出：

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.}$

取這個展開式的有限個項，便可以產生${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$的一個近似值，例如：

${\displaystyle {\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.}$

質數和平方數

佩爾質數是既是佩爾數又是質數的數。最初幾個佩爾質數是：

2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。

與斐波那契質數相似，唯若n本身是質數時${\displaystyle P_{n}}$才有可能是質數。

唯一的既是佩爾數又是平方數、立方數或任意整數次方的數是0, 1, 以及169 = 13²。

然而，佩爾數與三角平方數有密切的關係。它們出現在以下佩爾數的恆等式中：

${\displaystyle {\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.}$

等式的左面是平方數，等式的右面是三角形數，因此是三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero在2006年證明了佩爾數與平方數之間的另外一個恆等式，並證明了從${\displaystyle P_{1}}$到${\displaystyle P_{4n+1}}$的所有佩爾數的和總是平方數：

${\displaystyle \sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.}$

例如，從${\displaystyle P_{1}}$到${\displaystyle P_{5}}$的和是${\displaystyle 0+1+2+5+12+29=49}$，是${\displaystyle P_{2}+P_{3}=2+5=7}$的平方。${\displaystyle P_{2n}+P_{2n+1}}$就是這個和的平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。

畢氏三元數

邊長為整數的直角三角形，其直角邊幾乎相等，由佩爾數引出。

如果一個直角三角形的邊長為a、b和c（必須滿足畢氏定理a²+b²=c²），那麼(a,b,c)稱為畢氏三元數。Martin在1875年描述，佩爾數可以用來產生畢氏三元數，其中a和b相差一個單位。這個畢氏三元數具有以下形式：

${\displaystyle (2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).}$

用這種方法產生的畢氏三元數的序列是：

(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

佩爾-盧卡斯數

佩爾-盧卡斯數由以下的遞迴關係定義：

${\displaystyle Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

也就是說，數列中的最初兩個數都是2，後面每一個數都是前一個數的兩倍加上再前面的一個數。這個數列的最初幾個項是（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾-盧卡斯數的通項公式為：

${\displaystyle Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.}$

這些數都是偶數，每一個數都是以上${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$的近似值中的分子的兩倍。

參考文獻

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外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Pell Number. MathWorld.