代數數體是數學中代數數論的基本概念,數體的一類,有時也被簡稱為數體,指有理數體
的有限擴張形成的擴張體[1][2]。任何代數數體都可以視作
上的有限維向量空間。
提示:此條目的主題不是
數域,也不是全體
代數數構成的域。
對代數數體的研究,或者更一般地說,對有理數體的代數擴張的研究,是代數數論的中心主題。
代數數體是體的一類。體是裝備了兩個二元運算(通常稱之為「加法」、「乘法」)的代數系統。這兩種運算各自滿足結合律與交換律,完全可逆,同時乘法對加法滿足分配律(詳細定義參見體)。體的一個重要的例子是有理數體
。
- 體的擴張
體的擴張研究各類體之間的關係,最早的應用包括多項式方程式一般求根公式問題等。在給定的體F中加入不屬於此體的元素(一般以集合S記錄),規定相互間的運算法則後,「最小的」將它們都包含在內的體[N 1]L稱為「F(添加S中元素得到)的擴張體」。稱F是L的子體。一般將「F到L的體擴張」記作F⊂L或L/F。
- 向量空間
另一個基礎概念是向量空間。向量空間,特別是有限維向量空間的概念是三維空間以及其中向量概念的推廣(具體定義參見向量空間條目)。以某個體F為係數體的向量空間(通常稱作F上的向量空間或F-向量空間),其中的向量除了可以相加減,還可以乘以F中元素進行放縮。有限維的向量空間可以藉助其中的有限個向量來刻畫。這些向量之間必須滿足特定的條件,稱為空間的基。選定了空間的基以後,空間裡的任何向量都可以表達為以F中元素組成的有序數組:
。其中的n是基中向量的個數,也稱為空間的維數。
- 有限擴張
設L是體F的一個擴張體。將L中的元素看作向量,以F作為係數體,可以證明L是一個F-向量空間。如果這個向量空間是有限維的,就稱L是F的有限擴張。L作為F-向量空間的維數,稱為擴張的次數,記作[L : F]。
若體L是有理數體
的有限擴張,則稱之為代數數體[3]:3。
最小最基本的代數數體是有理數體
。因為
自身是
-向量空間,維數是1。因此
是
自身的體擴張,
高斯有理數
(i為虛數單位)是數學家發現的第一個非平凡代數數體的例子,它是所有形同:
![{\displaystyle a+bi,\;\;a,b\in \mathbb {Q} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52282391f6bb2cde8fffbe8b2ae4e0b19e29d79)
的數構成的集合。可以證明,
是體,而且是
-向量空間,以
為基,空間維數是2。所以
是
的二次擴張,
給定不是完全平方數的正整數或相反數不是完全平方數的負整數d,二次體
在
中添加 d的平方根而得的擴張體。與高斯有理數體類似,可以證明
是
-向量空間,以
為基,空間維數是2,即
考慮多項式方程式
的n個複根
,它們被稱做n次單位根,具體可以寫作:
![{\displaystyle \xi _{i}=e^{\frac {2i\pi }{n}},\;\;i\in \{0,1,\cdots ,n-1\}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/447f149ade18bfbd4df9e242735305d5233c8346)
在
中添加
得到的擴張體稱為n次分圓體,記作
。可以證明
是有限維
-向量空間,維數為
(
是數論中的歐拉函數),即
實數體
、複數體
和p進數體
都不是
的有限擴張,因此都不是代數數體。任何有限體都不是
的擴張體,因此也不是代數數體。
全體規矩數構成的體
和全體代數數構成的體
(有時也被簡稱為代數數體,與本文主題同名,但不是同一個概念)不是
的有限擴張,因此都不是代數數體。
代數數是指能夠成為某個有理數係數多項式(不是零多項式)的根的數。顯然所有的有理數都是代數數[N 2]。給定一個代數數體L,依定義,體擴張
是有限擴張。設其次數為正整數m[N 3]。將L看作是m維
-向量空間,在L中任意選一個不屬於
的數z,它可以被看作是m維
-向量空間中的一個(非零)向量。考慮以下的m + 1個向量:
![{\displaystyle 1,z,z^{2},\cdots ,z^{m}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa91db841f4c29ef0604da07e5c1e06e99aa9514)
它們都屬於L。根據向量空間的性質,它們是線性相依的。即存在不全為零的m + 1個有理數:
,使得:
.
考慮非零多項式
,
,即z是多項式
的根。所以z是代數數。由上可知,任一代數數體的元素都是代數數。
設F為n次代數數體,F的整數基是任一由n個F-整數組成的集合:
![{\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c8e1772bb05b11f090092107a4cbf100e23a78)
使得任一個F-整數x都能唯一地表示為這n個F-整數的整線性組合[N 5],即:
,使得![{\displaystyle x=m_{1}b_{1}+m_{2}b_{2}+\cdots +m_{n}b_{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/083a69143f3f125aa83d1f6f4b519854a955e73a)
換句話說,整數基B是
作為自由
-模的基。給定F的一組整數基B,可以證明,所有F中元素x都可以唯一地表示為其中元素的有理線性組合,即:
,使得![{\displaystyle x=q_{1}b_{1}+q_{2}b_{2}+\cdots +q_{n}b_{n}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3036f4a571eccdd975228cda85800ff638d3369)
這說明B是F作為n維
-向量空間的一組基。而且由於B中元素都是F-整數,故B名為整數基。此外可以證明,x是F-整數若且唯若所有
都是有理整數。
設F為n次代數數體。作為n維
-向量空間,F包含如下形式的基:
![{\displaystyle B=\{1,\beta ,\beta ^{2},\cdots ,\beta ^{n-1}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0926112d060b85a5b90a1f39e1fb4674df42e335)
其中每個元素都是某個特定的數β的乘冪。根據體擴張理論中的本原元定理,這樣的β一定存在,稱為體擴張
的本原元。如果β不僅是本原元,還是F-整數,那麼這時B也是整數基,稱作乘冪整數基,稱F為單衍體(monogenic field)。
此處假設這個體擴張不是平凡的,即L不是
自身,也即是說假設m大於1。
即不能表示成另兩個
中的不等於1或-1的數的乘積,正式名稱為不可約元素或質元素。
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