張量範疇(tensor category),或曰么半範疇(monoidal category), 直覺地講,是個配上張量積的阿貝爾範疇(abelian category),可當作環的範疇化。
數學中,一個張量範疇(tensor category,或稱么半範疇 monoidal category)是一個包含單一個對象的雙範疇)bicategory)。
更具體的描述:一個張量範疇是
- 一個範疇
;
- 被賦予張量積,即一個二元函子
;
- 被賦予一個單位對象
;
- 被賦予三組自然同構映射:
- 結合子
:
;
- 左/右單位子: 自然同構映射
,
:
,
;
- 每
,
,
,
,
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Monoidal-category-pentagon.png)
- 和
![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Monoidal-category-triangle.png)
- 都交換.///
在這以上兩道相容條件下,任何以結合子,左右單位子和張量積組成的圖表都交換,因為
Mac Lane 凝聚定理(Mac Lane's coherence theorem):
每個么半範疇都 么半等價(monoidally equivalent) 於一嚴格么半範疇(見下).
嚴格么半範疇(strict monoidal category)
是個么半範疇 ,其自然態射
,
和
都是恆等影射.
取任一 範疇
, 我們可構築其 自由嚴格么半範疇
:
- 對象:其每一對象是一串由
裡面的對象組成之有限序列
);
- 態射:當且僅當
時,我們在二個對象
和
之間定義 態射:每
-態射 是一串由
-態射組成的有限序列
;
- 張量積: 二個
-對象
及
之張量積, 我們定義為 此二有限序列之串接(concatenation)
; 同樣地任何二
-態射之張量積, 我們定義為其串接。
按:此算符
,向由任一 範疇
配上
,可推廣到
上的嚴格-2-單子 (strict 2-monad)。
取任一範疇,若以其平常範疇積作張量積,以其終對象作單位對象,則成為一個張量範疇。
亦可取任一範疇,以其餘積(co-product)作張量積,以其始對象作單位對象,亦成一個張量範疇。
(此二例實為對稱么半範疇結構。)
但亦有許多張量範疇(例如:
-Mod,如下),其張量積 既非 範疇積 亦非 範疇餘積。
以下舉張量範疇二例——向量空間範疇和集合範疇——並表明其類比:
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- 很多張量範疇更進一步有 辮, 交換態射 or 封閉等結構. 詳見下述參考。
- 么半函子為二張量範疇(么半範疇)間、保存張量積結構之函子; 么半態射為二么半函子間之態射(自然變換 (natural transformations))。
- 一般么半群之概念可推廣成么半範疇中的么半對象。尤其者,可視一嚴格么半範疇作 範疇之「範疇」 Cat中的么半對象(並以卡氏積為么半結構)。
- 上有界交半格 構成一嚴格對稱么半範疇:其積為交,而單位元則為頂。
- Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies 49, 28–46.
- Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc." Journal of Algebra 1, 397–402
- Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories". Advances in Mathematics 102, 20–78.
- Mac Lane, Saunders (1997), Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). New York: Springer-Verlag.
- Baez, John, Definitions (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- : <<Braided Category>>, <<Encyclopaedia of Mathematics>>,Springer On-line Reference Works (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)