互斥聯集

在集合論，一組集合的互斥聯集指的是一種修改過的聯集運算，除了普通的聯集，還標記了元素的來源。互斥聯集還有另一個意義，指的是兩兩不交的集合的聯集。

定義與記法

設${\displaystyle I}$為一個指標集，${\displaystyle \{A_{i};\;i\in I\}}$是一個集族，則

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$

是互斥聯集若且唯若對於I中任意的兩個相異指標i和j，都有

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$^[1]:1

為了強調${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$，數學作品記敘時會將其中的圓底聯集符號改為方底，記作：

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}}$

有時可以見到如下記法

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

表示一個集族的互斥聯集，或者A + B表示兩個集合的互斥聯集。這個記法本意是暗示互斥聯集的基數是該集族中所有集合的基數之和。

在另一個定義下，若{A_i : i ∈ I}是一個集族，互斥聯集定義為

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i):x\in A_{i}\}.}$

互斥聯集的元素是有序對 (x, i)。此處 i標記著 x 的來源是哪個 A_i。

例子

設集合${\displaystyle A_{1}=\{1,2,3\}}$，${\displaystyle A_{2}=\{4,5,6\}}$，${\displaystyle A_{3}=\{7,8,9\}}$，${\displaystyle A_{4}=\{1,3,5\}}$，${\displaystyle A_{5}=\{2,4,6\}}$，則${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}}$與${\displaystyle A_{4}\cup A_{5}}$是互斥聯集，而${\displaystyle A_{1}\cup A_{3}\cup A_{5}}$則不是互斥聯集，因為${\displaystyle A_{1}\cap A_{5}=\{2\}}$不是空集。

設指標集為整數集${\displaystyle \mathbb {Z} }$，定義集族：${\displaystyle \forall i\in \mathbb {Z} ,\;R_{i}=[i,i+1)}$。則所有的${\displaystyle R_{i}}$的聯集是互斥聯集，結果是實數集合${\displaystyle \mathbb {R} }$。

任意集族的互斥聯集

集族能擁有互斥聯集的充要條件是它們之間兩兩交集為空集。對於一般的集族，由於其中的某些集合之間可能有交集不是空集的情況，因此無法擁有互斥聯集集。然而數學研究中，有時候需要統一討論這些集合中所有的元素，而又不希望在使用聯集運算的時候將其中重複的元素減為一個。於是有的上下文中會修改通常聯集的定義，以達到將任意集族進行互斥聯集運算的效果。具體做法是將每個集合中的元素都附加一個與集合本身相對應的「標籤」，這樣，若干個交集不為空集的集合中本來相同的元素因為各自附加了不同的「標籤」，就成為了不同的元素^[2]:26。使用數學的語言描述，即是：

設${\displaystyle I}$為一個指標集，${\displaystyle \{A_{i};\;i\in I\}}$是一個集族，則首先定義：

${\displaystyle \forall i\in I,A_{i}^{*}=\{(i,x);\;x\in A_{i}\}}$

這樣，新的集族${\displaystyle \{A_{i}^{*};\;i\in I\}}$中的每個${\displaystyle A_{i}^{*}}$中的元素都和${\displaystyle A_{i}}$元素一一對應。然而如果原來有某個元素x是某些集合的共有元素，例如${\displaystyle \exists J\subset I,\;\;J\neq \varnothing }$，使得${\displaystyle \forall j\in J,\;x\in A_{j}}$，那麼在新的集族中，這些集合中的x分別變成了${\displaystyle (j,x),\;\;j\in J}$，不再是同一個元素了。因此，新的集族中，任兩個集合的交集必然是空集。這樣，聯集：

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}^{*}}$

就成為了互斥聯集。

例子

設指標集為正整數集${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$。定義集合${\displaystyle A_{i}=\{{\frac {k}{2^{i}}};\;k\in \mathbb {Z} ,\;0<k<2^{i}\},\;\;\forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}$，則它們之間兩兩交集並不為空集。比如說${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {3}{2^{2}}}}$屬於${\displaystyle A_{2}}$，但也屬於${\displaystyle A_{3}}$，因為${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {6}{2^{3}}}}$。定義

${\displaystyle A_{1}^{*}=\{(1,x);\;x\in A_{1}\}=\{(1,{\frac {1}{2}})\}}$

${\displaystyle A_{2}^{*}=\{(2,x);\;x\in A_{2}\}=\{(2,{\frac {1}{4}}),(2,{\frac {1}{2}}),(2,{\frac {3}{4}})\}}$

${\displaystyle A_{3}^{*}=\{(3,x);\;x\in A_{3}\}=\{(3,{\frac {1}{8}}),(3,{\frac {1}{4}}),(3,{\frac {3}{8}}),(3,{\frac {1}{2}}),(3,{\frac {5}{8}}),(3,{\frac {3}{4}}),(3,{\frac {7}{8}})\}}$等

則其中任兩個元素都不相同，於是任兩個集合交集為空集。所以互斥聯集為：

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}^{*}=\{(i,{\frac {j}{2^{i}}});\;\;(i,j)\in \mathbb {Z} ^{+}\times \mathbb {Z} ^{+},j<2^{i}\}}$

在不至於混淆的情況下，也被直接記作：

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}A_{i}=\{(i,{\frac {j}{2^{i}}});\;\;(i,j)\in \mathbb {Z} ^{+}\times \mathbb {Z} ^{+},j<2^{i}\}}$或${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {Z} ^{+}}^{*}A_{i}=\{(i,{\frac {j}{2^{i}}});\;\;(i,j)\in \mathbb {Z} ^{+}\times \mathbb {Z} ^{+},j<2^{i}\}}$

推廣

在範疇論的語言中無交併是集合範疇的余積（英語：Coproduct），因此它滿足相應的泛性質。這也意味著互斥聯集是笛卡兒積的對偶（英語：Dual (category theory)）。^[3]:60

參見

• 余積（英語：Coproduct）
• 互斥聯集 (拓撲)（英語：Disjoint union (topology)）
• 標籤聯合（tagged union，標籤聯集）

參考來源

1. E. Artin. Geometric Algebra. John Wiley & Sons. 2011. ISBN 978-1-118-16454-9.
2. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs. The Grammar of Graphics. Springer. 2006. ISBN 978-0-387-28695-2.
3. Lang Serge. Algebra. Springer. 2005. ISBN 978-2-10-007980-3.