组合数学

广义的组合数学（英语：Combinatorics）相当于离散数学，狭义的组合数学是组合计数、图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计(Combinatorial design（英语：Combinatorial design）)、组合矩阵(Combinatorial matrix theory（英语：Combinatorial matrix theory）)、组合最佳化（最佳组合）等。

历史

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.

最基本的组合数学的思想和枚举的方法在古老时代就已经出现。公元前6世纪的古印度外科医生妙闻指出可以由6种相异味道组合出63种相异结果（每种味道都可以选择或不选择，但不能都不选择，因此有2⁶−1=63种组合）；罗马时代的希腊史家普鲁塔克与克律西波斯、喜帕恰斯讨论了后来显示与Schröder–Hipparchus数（英语：Schröder–Hipparchus number）有关的枚举问题^[1][2]；公元前3世纪的阿基米德在其数学文章Ostomachion（英语：Ostomachion）中讲述拼接拼图的智力游戏（tiling puzzle）。

中世纪时，组合数学持续发展（主要是欧洲外的文明）。公元850年的印度数学家Mahāvīra（英语：Mahāvīra (mathematician)）提供了关于排列数与组合的公式^[3][4]，甚至可能早在6世纪的印度数学家就对这些公式熟悉^[5] 。公元1140年哲学家与天文学家阿伯拉罕·伊本·埃兹拉确认了二项式系数的对称性，而二项式系数公式则是由犹太人数学家吉尔松尼德在公元1321年得到^[6]。杨辉三角形最早可追溯至10世纪的数学论文，在中国则首现于13世纪南宋杨辉《详解九章算法》。在英格兰则出现与哈密顿回路相关的例子^[7]。

文艺复兴时期，与其他数学或科学领域一样，组合数学再现生机。帕斯卡、牛顿、雅各布·白努利、欧拉等人的研究为此新兴领域打下基础。在更近代，西尔维斯特和MacMahon（英语：Percy Alexander MacMahon）也在组合计数和代数组合学有贡献。人们此时也对图论有极大兴趣，例如关于四色问题的领域。

在20世纪下半叶，组合数学成长相当快速，甚至出现数十种新的期刊和会议^[8]，这样的成长某程度上是由对其他领域的连结与应用所带动，如代数、几率论、泛函分析和数论。

组合数学中的著名问题

• 计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆。
• 地图着色问题：为地图填色，每区用一色。如果要邻区颜色相异，是否只需四色？这是图论题。
• 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊，但船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西运过河？这是线性规划题。
• 中国邮差问题：由中华民国组合数学家管梅谷教授提出。邮差要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。也是图论题。
• 任务分配问题（也称分配问题）：有一些员工要完成一些任务。各员工完成不同任务用的时间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务只分给一个员工。怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？也是线性规划题。
• 如何构造幻方： 幻方为一方阵，填入不重复之自然数，并使其中每一纵列、横列、对角线内数字之和皆相同。
• 数独：游戏一般由9个3×3个的九宫格组成。每一列的数字均须包含 1～9，不能缺少，也不能重复。每一宫(粗黑线围起来的区域，通常是 3x3 的九宫格)的数字均须包含 1～9，不能缺少，也不能重复。参见Mathematics_of_Sudoku（英语：Mathematics_of_Sudoku）

排列

主条目：排列

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素的排列数量为：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

以赛马为例，有8匹马参赛，玩家需在彩票上填入前三匹胜出的马匹号码，从8匹马取出3匹来排前3名，排列数量为：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=8\times 7\times 6=336}$

因为有336种排列，因此玩家在一次填入中中奖的概率是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$ (假设每匹马赢的机会相等)

不过，中国大陆的教科书则是把从n取k的情况记作${\displaystyle P_{n}^{k}}$或${\displaystyle A_{n}^{k}}$（A代表Arrangement，即排列^[9]）。

上例是在取出元素不重复出现的状况建立。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素可以重复出现，这排列数量为：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$^[10]

以四星彩为例，10个数取4个，因可能重复所以排列数量为：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$

这时的一次性添入中奖的概率就是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$

组合

主条目：组合

和排列不同的是，组合不考虑取出元素的顺序。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个，${\displaystyle k}$个元素的组合数量为：

${\displaystyle C_{k}^{n}={n \choose k}={\frac {P_{k}^{n}}{k!}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

中国大陆的教科书则是把从${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$的情况记作${\displaystyle C_{n}^{k}}$^[11]。

以香港六合彩为例，六合彩49颗球选6颗的组合数量为：

${\displaystyle C_{6}^{49}={49 \choose 6}={\frac {49!}{6!43!}}=13983816}$

如同排列，上面的例子是建立在取出元素不重复出现状况。

从${\displaystyle n}$个元素取出${\displaystyle k}$个元素，${\displaystyle k}$个元素可以重复出现，组合数量为：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}}$

以取色球为例，每种颜色的球有无限多颗，从8种色球取出5颗球，这组合数量为：

${\displaystyle H_{5}^{8}=C_{5}^{8+5-1}=C_{5}^{12}={\frac {12!}{5!7!}}=792}$

因为组合数量公式特性，重复组合转换成组合有另一种公式为：

${\displaystyle H_{k}^{n}=C_{k}^{n+k-1}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}=C_{n-1}^{n+k-1}}$

另外${\displaystyle H_{k}^{n}}$也可以记为${\displaystyle F_{k}^{n}}$^[12]

${\displaystyle F_{k}^{n}=H_{k}^{n}}$

总结

${\displaystyle n}$中取${\displaystyle k}$	直线排列 （考虑顺序）	环状排列	组合 （不考虑顺序）
不重复出现 （不放回去）	${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ （OEIS数列A008279）	${\displaystyle {\frac {n!}{k\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS数列A111492）	${\displaystyle C_{k}^{n}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}}$ （OEIS数列A007318）
可重复出现 （再放回去）	${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$ （OEIS数列A004248）	${\displaystyle {\frac {\sum _{r|k}(r\cdot \varphi (r)\cdot n^{\frac {k}{r}})}{k}}}$ （OEIS数列A075195）	${\displaystyle H_{k}^{n}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}$ （OEIS数列A097805）

参见

• 阶乘
• 阶乘符号
• 排列
• 组合
• 组合优化

参考文献

1. Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
2. Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; and Lando, Sergei; "On the Second Number of Plutarch", American Mathematical Monthly 105 (1998), no. 5, 446.
3. 约翰·J·奥康纳; 埃德蒙·F·罗伯逊, Mahavira, MacTutor数学史档案 （英语）
4. Puttaswamy, Tumkur K., The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians, Selin, Helaine (编), Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics, Netherlands: Kluwer Academic Publishers: 417, 2000 [2019-07-21], ISBN 978-1-4020-0260-1, （原始内容存档于2016-11-27）
5. Biggs, Norman L. The Roots of Combinatorics. Historia Mathematica. 1979, 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
6. Maistrov, L.E., Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press: 35, 1974 [2019-07-21], ISBN 978-1-4832-1863-2, （原始内容存档于2021-04-16）. (Translation from 1967 Russian ed.)
7. White, Arthur T.; "Ringing the Cosets", American Mathematical Monthly, 94 (1987), no. 8, 721–746; White, Arthur T.; "Fabian Stedman: The First Group Theorist?", American Mathematical Monthly, 103 (1996), no. 9, 771–778.
8. See Journals in Combinatorics and Graph Theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）
9. 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 10. ISBN 9787107187544.
10. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29. OCLC:44527392
11. 普通高中课程标准实验教科书 数学 选修2-3 B版. 人民教育出版社. : 16. ISBN 9787107187544.
12. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 33. OCLC:44527392

外部链接

• The Combinatorics Net （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Electronic Journal of Combinatorics （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 点算的奥秘 （页面存档备份，存于互联网档案馆）