无界算子

在数学中, 特别是泛函分析与算符理论, 无界算子的概念提供了用于处理微分算符, 量子力学中无界可观测量等的一个抽象框架.

无界算子的名称具有一定的误导性，这是因为

• “无界”有时可以被理解为 "无需有界"，或者说 "不一定有界"；
• “算符”当被理解为“线性算符”（这和“有界算子”是相同的）；
• 算符的定义域为线性子空间, 不必为全空间；
• 线性子空间不必有界； 一般被假定为稠密；
• 特殊情况下的有界算子，定义域被假定为全空间

不同于有界算子, 给定空间上的无界算子不构成代数，甚至不构成线性空间，这是因为每一个无界算子有各自的定义域。

“算子”通常指“有界线性算子”，但在以下内容中默认指“无界算子”。给定空间默认为希尔伯特空间，但可以扩展到巴拿赫空间与更有普遍性的拓扑矢量空间。

历史简述

无界算子理论诞生于20世纪20年代晚期以及30年代早期，作为量子力学严格数学框架的一部分而得到发展.^[1] 约翰·冯·诺伊曼^[2]以及Marshall Stone（英语：Marshall Harvey Stone）^[3]为理论发展的主要贡献者。冯·诺伊曼在1936年利用图对无界算符进行分析.^[4]

定义与基本性质

令 B₁ 与 B₂ 为 巴拿赫空间. 无界算子 (或简称为算子) T : B₁ → B₂是一个线性映射 T， 从B₁ 的线性子空间D(T) （T的定义域）映射到空间 B₂.^[5] 不同于惯例, T 可能不定义在整个空间B₁.

如果函数图 Γ(T) 为一个闭集，算子T被称为闭算子.^[6] （这里，图 Γ(T) 是直和B₁ ⊕ B₂的一个线性子空间，定义为所以对(x, Tx)的集合, x定义在T上）. 这意味着，对所有来自域T的点列(x_n)，x_n收敛到x， Tx_n 收敛到y, x在域T上成立，且 Tx = y.^[6] 有界性可以通过图模描述: 算符 T 是有界的， 当且仅当它的定义域 D(T) 是关于下面的模的完备空间:^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}\ .}$

如果在B₁上定义域稠密，算子 T被稠密定义。这同样包括定义在整个 B₁ 上的算子, 因为整个空间本身稠密。 定义域的稠密是转置与伴随函数存在的充分必要条件。

若T : B₁ → B₂为闭集, 在它的定义域上稠密且连续, 则它定义在B₁上.^[8]

如果 T + a 是实数 a的正算符，希尔伯特空间 H 上稠密定义的算符 T被称作下有界. 即,对所有T域上的x来说，⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||² .^[9] 如果 T 与 (–T) 都是下有界的，T有界.^[9]

参考资料

• Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F., Functional analysis II, Birkhäuser, 1996 (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
• Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle — Théorie et applications, Paris: Mason, 1983 （法语）
• Hazewinkel, Michiel (编), Unbounded operator, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hall, B.C., Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators, Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2013
• Kato, Tosio, Chapter 5. Operators in Hilbert Space, Perturbation theory for linear operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58661-X
• Pedersen, Gert K., Analysis now, Springer, 1989 (see Chapter 5 "Unbounded operators").
• Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, 1: Functional Analysis revised and enlarged, Academic Press, 1980 (see Chapter 8 "Unbounded operators").
• Yoshida, Kôsaku, Functional Analysis sixth, Springer, 1980

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1. Reed & Simon 1980，Notes to Chapter VIII, page 305
2. von Neumann, J., Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators), Mathematische Annalen, 1930, 102 (1): 49–131, doi:10.1007/BF01782338
3. Stone, Marshall Harvey. Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis. Reprint of the 1932 Ed. American Mathematical Society. 1932 [2014-03-29]. ISBN 978-0-8218-7452-3. （原始内容存档于2014-06-29）.
4. von Neumann, J., Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators), Annals of Mathematics, Second Series, 1936, 33 (2): 294–310, JSTOR 1968331, doi:10.2307/1968331
5. Pedersen 1989，5.1.1
6. Pedersen 1989，5.1.4
7. Berezansky, Sheftel & Us 1996，page 5
8. Suppose f_j is a sequence in the domain of T that converges to g ∈ B₁. Since T is uniformly continuous on its domain, Tf_j is Cauchy in B₂. Thus, (f_j, Tf_j) is Cauchy and so converges to some (f, Tf) since the graph of T is closed. Hence, f = g, and the domain of T is closed.
9. ^ ^{9.0 9.1} 引用错误：没有为名为Pedersen-5.1.12的参考文献提供内容