尼柯尔斯图

尼柯尔斯图（英语：Nichols plot）是将线性非时变系统在不同频率下的增益分贝值及相位绘在一直角坐标系的图上，尼柯尔斯图将二种波德图（波德增益图及波德相位图）结合成一张图，而频率只是曲线中的参数，不直接在图中显示。尼柯尔斯图的命名是来自美国控制工程师尼柯尔斯（Nathaniel B. Nichols）。

尼柯尔斯图

尼柯尔斯图，图中有曲线表示闭环系统的增益分贝值及相位

尼柯尔斯图常应用在闭环控制系统的稳定性分析中，这时会将开环系统的频率响应绘在尼柯尔斯图上，而尼柯尔斯图上会有其他曲线，标示对应闭环系统的增益分贝值及相位。因此只要知道开环系统的频率响应，即可找到单位回授系统的频率响应。^{[1][注解 1]}

原理

考虑一系统的开环转换函数为${\displaystyle G(j\omega )}$，回授系数为1，其闭环的转换函数${\displaystyle W(j\omega )}$为

${\displaystyle W(j\omega )={\frac {G(j\omega )}{1+G(j\omega )}}}$

开环转换函数可以用其大小及相位来表示：

${\displaystyle G(j\omega )=ge^{j\theta },~g=|G(j\omega )|,~\theta =\angle G(j\omega )}$

而其闭环的转换函数为： ${\displaystyle W(j\omega )={\frac {g\cos \theta +jg\sin \theta }{(1+g\cos \theta )+jg\sin \theta }}=Me^{j\varphi }}$

其大小及相位为： ${\displaystyle M={\frac {g}{\sqrt {1+g^{2}+2g\cos \theta }}},~\varphi =\tan ^{-1}{\frac {\sin \theta }{g+\cos \theta }}}$

因此闭环下频率响应的大小${\displaystyle M}$及相位${\displaystyle \varphi }$可以用开环频率响应的大小${\displaystyle g}$及相位${\displaystyle \theta }$来表示。只要知道开环的频率响应，即可求出对应的闭环频率响应。

应用

尼柯尔斯图，其中可看到增益裕度及相位裕度

尼柯尔斯图可以用来分析系统的稳定性，以及增益裕度、相位裕度等有关系统相对稳定性的资讯。^[2] 。

在尼柯尔斯图上可以看到相位-180度，增益0dB的点。找出尼柯尔斯图对应相位-180度的点：

• 若此点在增益0dB的点上方，表示其增益大于0dB，对应的单位回授系统不稳定。
• 若此点在增益0dB的点下方，表示其增益小于0dB，对应的单位回授系统稳定，而两者的距离即为增益裕度。

而根据尼柯尔斯图对应增益0dB度的点也可以判断是否稳定，及相位裕度：

• 若此点在相位-180度点左方，表示其相位小于-180度，对应的单位回授系统不稳定。
• 若此点在相位-180度点右方，表示其相位大于-180度，对应的单位回授系统稳定，而两者的距离即为相位裕度。

以右图为例，在相位到达-180度时，增益约为-9.6dB，在0dB点的下方，因此系统稳定，增益裕度为9.6dB。 在增益到达0dB时，相位为-147度，在-180度点的右方，较-180度多33度，因此相位裕度为33度。

在强健控制系统设计的领域中，尼柯尔斯图是Horowitz和Sidi的量化回授理论（QFT, Quantitative feedback theory）的重点之一。

参照

• 波德图
• 奈奎斯特图
• 传递函数
• 等M圆及等N圆

注解

1. 若回授部分的转换函数不为1，可以用其他方式转换为其他系统及单位回授系统的组合。

参考文献

1. Richard C. Dorf; Robert H. Bishop. Modern Control Systems. Addison Wesley. 1995: 473. ISBN 0-201-50174-0. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. I.J.Nagrath; M.Gopal. Control System Engineering. Wiley. 1984: 308. ISBN 957-9590-53-2. 引文使用过时参数coauthors (帮助)