集中趋势

在统计学中，集中趋势（central tendency）或中央趋势，在口语上也经常被称为平均，表示一个几率分布的中间值^[1]。最常见的几种集中趋势包括算数平均数、中位数及众数。集中趋势可以由有限的数组（如一群样本）中或理论上的几率分配（如正态分布）中求得。有些人使用集中趋势（或集中性）这个词以表示“数量化的资料之中央值的趋势”^[2][3]。在这种意义下，我们可以利用资数据的离散程度（例如标准偏差或四分差等相似的统计量）判别其集中趋势的程度。

集中趋势（central tendency）一词于1920年代后期出现^[3]。

集中趋势的统计量

一维资料的集中趋势可能有以下数种统计方法。在某些情况下，经转型（英语：Data transformation (statistics)）（data transformation）后的资料才采用以下的方法。

算术平均数

观测值的总和除以观测值的个数，即${\displaystyle {\tfrac {x_{1}+x_{2}+x_{3}\ldots +x_{n}}{n}}}$。常简称为平均数，也往往是背后几率分布的期望值之不偏估计。

中位数

将所有观测值按大小排序后在顺序上居中的数值。

众数

出现最多次的观测值。

几何平均数

观测值的乘积之观测值个数方根，即${\displaystyle (x_{1}\times x_{2}\times x_{3}\ldots \times x_{n})^{\frac {1}{n}}}$

调和平均数

观测值个数除以观测值倒数的总和，即${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+...+{\frac {1}{x_{n}}}}}}$

加权平均数

考虑不同群资料贡献程度不同时的算数平均数

截尾平均数（truncated mean）

忽略特定比例或特定数值之外的极端值后所得的平均数。例如，四分平均数（英语：Interquartile_mean）（interquartile mean）正是忽略25%前及75%后的资料后所得的算数平均数。

中程数（英语：Midrange）（midrange）又称全距中值^[4]

最大值与最小值的算数平均数，即${\displaystyle {\frac {\min(x)+\max(x)}{2}}}$。

中枢纽（英语：Midhinge）（midhinge）

第一四分位数与第三四分位数的算数平均数，即${\displaystyle {\frac {Q_{1}+Q_{3}}{2}}}$。

三均值（trimean）

考虑三个四分位数的加权平均数，即${\displaystyle {\frac {Q_{1}+2Q_{2}+Q_{3}}{4}}}$。

极端值调整平均数（英语：Winsorized_mean）（winsorized mean）

以最接近的观测值取代特定比例的极端值后取得的算数平均数。举例来说，考虑10个观测值（由小到大排列为${\displaystyle x_{1}}$至${\displaystyle x_{10}}$）的情况下，10%的极端值调整平均数为

${\displaystyle {\frac {\overbrace {x_{2}+x_{2}} +x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+\overbrace {x_{9}+x_{9}} }{10}}}$，

其中分别以${\displaystyle x_{2}}$和${\displaystyle x_{9}}$取代了${\displaystyle x_{1}}$和${\displaystyle x_{10}}$。

以上的统计量在多维变数中仍可单独地被套用在各个维度上进行，但并不能保证在转轴后仍维持一致的结果。

平均数、中位数与众数的关系

在指数分配exp(λ)中，期望值为1/λ而中位数为(ln 2)/λ，二者并不一致。

在左右对称的几率分布中，不同的集中趋势统计量有相同结果，但在偏度远离0时则可能不一致。在单峰型的几率分布（unimodal probability distribution）中，平均数（μ）、中位数（ν）与众数（θ）的关系如下：^[5]

${\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}}$，

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}}}$，

${\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}}}$，

其中σ为标准偏差。至于任一几率分布，^[6][7]

${\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1}$。

参考文献

1. Weisberg， H. F. (1992) Central Tendency and Variability, Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, ISBN 0-8039-4007-6 p. 2.
2. Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP for International Statistical Institute. ISBN 0-19-920613-9 (entry for "central tendency")
3. Upton, G.; Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (entry for "central tendency")
4. 中程數 mid-range. [2019-12-03]. （原始内容存档于2019-12-03）.
5. Johnson NL, Rogers CA (1951) "The moment problem for unimodal distributions". Annals of Mathematical Statistics, 22 (3) 433–439
6. Hotelling H, Solomons LM (1932) The limits of a measure of skewness. Annals Math Stat 3, 141–114
7. Garver (1932) Concerning the limits of a mesuare of skewness. Ann Math Stats 3(4) 141–142