量子势能

量子势能（英语：Quantum Potential）是德布罗意量子力学的中心概念型式，在1952年首度由戴维·玻姆（David Bohm）所提出^[1][2]。随后在1975年由Bohm和Basil Hiley诠释为作用在粒子上的信息势能。量子势能又可称为Bohm势能或量子Bohm势能。此处的potential是指势能（potential energy），因在哈密顿（Hamiltonian）表述中，势能习惯写为V，与电势V相同，因此称只称为potential。

Bohm和Hiley对于量子势能的概念诠释导致物理学家开始注意到量子物理中最基本的新性质─非局域性（nonlocality）。

薛定谔方程中的量子势能

薛定谔方程

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

可以含有实函数 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 的极坐标型式的波函数 ${\displaystyle \quad \psi =R\exp iS/\hbar }$ 改写。其中 ${\displaystyle R}$ 和 ${\displaystyle S}$ 分别为波函数的振幅和相位。改写后可将方程写成两个部分，分别对应到实部和虚部，实部部分称为量子哈密顿-亚可比方程(Hamilton-Jacobi equation)，而虚部部分称为连续方程。

连续方程

薛定谔方程的虚数部分可表为

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {1}{2m}}\left[R\nabla ^{2}S+2\nabla R\cdot \nabla S\right]\;,}$

其中如果 ${\displaystyle \rho =R^{2}}$ ，则上式可进一步写为${\displaystyle \partial \rho /\partial t+\nabla \cdot (\rho v)=0}$ ，即连续方程。

量子哈密顿-亚可比方程

薛定谔方程的实数部分则可写成

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-\left[{\frac {\left(\nabla S\right)^{2}}{2m}}+V+Q\right]\;,}$

称为量子哈密顿-亚可比方程。与经典哈密顿-亚可比方程相比，多了一项

${\displaystyle \quad Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}R}{R}}}$

${\displaystyle Q}$ 即为量子势能。由上式可知，量子势能与波函数振幅的曲率（curvature）有关。将${\displaystyle \hbar }$取极限至0，函数 ${\displaystyle S}$ 即为经典哈密顿-亚可比方程的解，因此函数 ${\displaystyle S}$ 又可称为哈密顿-亚可比函数，或者是可延伸至量子物理的作用量（action）。

应用

量子势能的方法可被用在量子效应的建模（modeling）上，不须明确地解出薛定谔方程。量子势能亦可与蒙地卡罗方法（Monte Carlo method）的模拟结合，模拟用于(深)次微米元件的载子传输问题，如载子流体力学方程（Hydrodynamic, HD，注意此处指元件载子传输现象的动力方程，与流体无关，仅描述公式的型式与传统流体力学相似而得名^[3]）和扩散方程。此计算方法先决定各个流体元素（fluid element）的密度，接着流体元素的加速经由计算${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle Q}$的梯度得出，最后速度场的散度决定密度的变化。在商用的元件模拟软件，如SILVACO TCAD，已可加入量子势能来模拟元件行为。

参考文献

1. Bohm, David (1952). "A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables" I". Physical Review 85: 166–179. Bibcode:1952PhRv...85..166B. doi:10.1103/PhysRev.85.166.
2. Bohm, David (1952). "A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden Variables", II". Physical Review 85: 180–193. Bibcode:1952PhRv...85..180B. doi:10.1103/PhysRev.85.180.
3. "Fundamentals of carrier transport", Mark Lundstrom