斯梅尔悖论

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嵌入f 和 −f對應的高斯映射 在 R3 都等于1，并且没有相反的符号作猜测。 所有 R3 中S2的浸入，它對應的高斯映射映射度都是1，所以没有問題。「真悖论」也许更适合用在这个级别：在斯梅尔的工作之前，没有任何嘗試論證或反正外翻 S2的紀錄，所以歷史上並沒有關於球面外翻的紀錄，只有第一次面對視覺化球面外翻的人，所留下對其精妙之處的讚揚。

罗素悖论（英語：Russell's paradox），是英國哲學家伯特兰·罗素於1901年提出的悖论，是一个关于类的内涵问题。 罗素悖论有一些更为通俗的描述，如理发师悖论、书目悖论。但理髮師悖論被一些人認為只是罗素悖论的一種描述方式，僅以理髮師悖論並無法完全敘述羅素悖論。罗素悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。

巴拿赫-塔斯基定理（Banach–Tarski paradox，或称豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基定理，又名“分球怪论”），是一条数学定理。1924年，斯特凡·巴拿赫和阿尔弗雷德·塔斯基首次提出这一定理，指出在选择公理成立的情况下，可以将一个三维实心球分成有限（不可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他

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