反棱柱

反棱柱（Antiprism）是由两个相同边数多边形平行基底和侧面的三角形所组成的一个多面体。反棱柱的对偶多面体是偏方面体（Trapezohedron）。

反棱柱

以六角反棱柱为例
类别	反柱体 均匀多面体
对偶多面体	偏方面体
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	h0,1{2,2n} s{2,n} { } ⨂ {n}
性质
面	${\displaystyle {{2}+{{2}\,{n}}}}$
边	${\displaystyle {{4}\,{n}}}$
顶点	${\displaystyle {{2}\,{n}}}$
欧拉特征数	F=${\displaystyle {{2}+{{2}\,{n}}}}$, E=${\displaystyle {{4}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{2}\,{n}}}$ （χ=2）
组成与布局
面的种类	2个n边形 2n个三角形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	3.3.3.n
对称性
对称群	Dnd, [2+,2n], (2*n), order 4n
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	Dn, [2,n]+, (22n), order 2n
特性
convex、semi-regular、 点可递
图像
偏方面体 （对偶多面体） （展开图）
注：${\displaystyle n}$为底面边数 。

正五角反棱柱

正十七角反棱柱

性质

若一个反棱柱底面边数为n，则称为n角反棱柱，此时其具有2n+2个面、4n条边和2n个顶点。在其2n+2个面中，有两个n边形的底面和2n个三角形侧面。

若其底面为正多边形、高为h，则其表面积为：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}na\left[a\cot {\frac {\pi }{n}}+2{\sqrt {h^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}\tan {\frac {\pi }{2n}}\tan {\frac {\pi }{2n}}}}\right]}$^[1]

正反棱柱

若一个反棱柱的所有面皆由正多边形组成，则称为正反棱柱。底面为正n边形的正反棱柱可以称为正反n角柱、正n角反角柱或正n角反棱柱，并且这种立体是半正多面体也是均匀多面体。正反棱柱由两个全等的正n边形底面和2n个正三角形侧面所组成，因此有2n+2个面（2底面和2n侧面）、4n条边和和2n个顶点。其2n个顶点对应的顶角全部相等，皆为1个正n边形和3个正三角形的公共顶点，在顶点图中可以用n.3.3.3来表示，对应的形状为鸢形，因此其对偶多面体为由鸢形组成的偏方面体。

性质

若一正n角反棱柱的边长为a，则其高为：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a{\sqrt {4-\sec {\frac {\pi }{2n}}\sec {\frac {\pi }{2n}}}}}$

体积${\displaystyle V}$与表面积${\displaystyle A}$为：

${\displaystyle V={\frac {1}{12}}na^{3}(\cot {\frac {\pi }{2n}}+\cot {\frac {\pi }{n}}){\sqrt {1-{\frac {1}{4}}\sec {\frac {\pi }{2n}}\sec {\frac {\pi }{2n}}}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}na^{2}(\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {3}})}$

例子

• 正三角反棱柱（正八面体）
• 正四角反棱柱
• 正五角反棱柱
• 正六角反棱柱
• 正七角反棱柱

参见

• 正八面体
• 棱柱
• 棱体