半指数函数

在数学上，半指数函数（Half-exponential function）是指数函数的函数平方根（英语：Functional square root）；换句话说，若${\displaystyle f}$是一个半指数函数，则${\displaystyle f}$与自己的复合函数会是一个指数函数：^[1][2] $${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ 其中${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$.是常数。

解析解的不存在性

假若以加减乘除等标准算数运算、指数、对数及实数常数等来表达一个函数${\displaystyle f}$，那么${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$要不就是次指数的，要不就是超指数的，^[3]因此哈代L-函数（英语：Hardy field）不可能是半指数函数。

建构

有无限多的函数，其半复合函数是与彼此相同的指数函数；特别地，对于任意位于开区间${\displaystyle (0,1)}$当中的数${\displaystyle A}$及任意从${\displaystyle [0,A]}$映至${\displaystyle [A,1]}$的严格递增满射连续函数${\displaystyle g}$而言，都存在作为这函数扩张的严格递增连续实数函数${\displaystyle f}$，使得${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$.^[4]，而这${\displaystyle f}$是以下函数方程的唯一解：

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

半指数函数的例子

一个简单的、使得${\displaystyle f}$处处有连续一阶导数例子，是设${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$且${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$，而这会得到下式： $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$

应用

半指数函数出现于计算复杂性理论当中，在其中半指数成长率是介于多项式成长率与指数成长率“之间”的一种成长速率。^[2]若一个函数${\displaystyle f}$的成长率至少与半指数函数一样快（也就是这函数与自身的复合函数的成长率是指数函数），就表示说这函数是非递减的，且对于任意${\displaystyle C>0}$而言，有${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$。^[5]

参见

• 迭代函数
• 施罗德方程式（英语：Schröder's equation）
• 阿贝尔方程式（英语：Abel equation）

参考资料

1. Kneser, H. Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x) = e^x und verwandter Funktionalgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1950, 187: 56–67 [2022-06-22]. MR 0035385. （原始内容存档于2022-05-18）.
2. Miltersen, Peter Bro; Vinodchandran, N. V.; Watanabe, Osamu. Asano, Takao; Imai, Hiroshi; Lee, D. T.; Nakano, Shin{-}Ichi; Tokuyama, Takeshi , 编. Computing and Combinatorics, 5th Annual International Conference, COCOON '99, Tokyo, Japan, July 26-28, 1999, Proceedings. Lecture Notes in Computer Science 1627. Springer: 210–220. 1999. MR 1730337. doi:10.1007/3-540-48686-0_21. |contribution=被忽略 (帮助)
3. van der Hoeven, J. Transseries and real differential algebra. Lecture Notes in Mathematics 1888. Springer-Verlag, Berlin. 2006. ISBN 978-3-540-35590-8. MR 2262194. doi:10.1007/3-540-35590-1.. See exercise 4.10, p. 91, according to which every such function has a comparable growth rate to an exponential or logarithmic function iterated an integer number of times, rather than the half-integer that would be required for a half-exponential function.
4. Crone, Lawrence J.; Neuendorffer, Arthur C. Functional powers near a fixed point. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1988, 132 (2): 520–529. MR 0943525. doi:10.1016/0022-247X(88)90080-7 .
5. Razborov, Alexander A.; Rudich, Steven. Natural proofs. Journal of Computer and System Sciences. 1997, 55 (1): 24–35. MR 1473047. doi:10.1006/jcss.1997.1494 .

外部链接

• Does the exponential function have a (compositional) square root?
• “Closed-form” functions with half-exponential growth