半指数函数

在数学上，半指数函数（Half-exponential function）是指数函数的函数平方根（英语：Functional square root）；换句话说，若${\displaystyle f}$是一个半指数函数，则${\displaystyle f}$与自己的复合函数会是一个指数函数：^[1][2] $${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},}$$ 其中${\displaystyle a}$与${\displaystyle b}$.是常数。

解析解的不存在性

假若以加减乘除等标准算数运算、指数、对数及实数常数等来表达一个函数${\displaystyle f}$，那么${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}}$要不就是次指数的，要不就是超指数的，^[3]因此哈代L-函数（英语：Hardy field）不可能是半指数函数。

建构

有无限多的函数，其半复合函数是与彼此相同的指数函数；特别地，对于任意位于开区间${\displaystyle (0,1)}$当中的数${\displaystyle A}$及任意从${\displaystyle [0,A]}$映至${\displaystyle [A,1]}$的严格递增满射连续函数${\displaystyle g}$而言，都存在作为这函数扩张的严格递增连续实数函数${\displaystyle f}$，使得${\displaystyle f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x}$.^[4]，而这${\displaystyle f}$是以下函数方程的唯一解：

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}}$$

半指数函数的例子

一个简单的、使得${\displaystyle f}$处处有连续一阶导数例子，是设${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}}$且${\displaystyle g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}}$，而这会得到下式： $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}-\log _{e}2\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}}$$

应用

半指数函数出现于计算复杂性理论当中，在其中半指数成长率是介于多项式成长率与指数成长率“之间”的一种成长速率。^[2]若一个函数${\displaystyle f}$的成长率至少与半指数函数一样快（也就是这函数与自身的复合函数的成长率是指数函数），就表示说这函数是非递减的，且对于任意${\displaystyle C>0}$而言，有${\displaystyle f^{-1}(x^{C})=o(\log x)}$。^[5]

参见

• 迭代函数
• 施罗德方程式（英语：Schröder's equation）
• 阿贝尔方程式（英语：Abel equation）