厄塞尔数

厄塞尔数（Ursell number）是流体动力学中的无量纲，表示流体层中长的表面重力波的非线性程度，得名自1953年发现此重要性的弗里茨·厄塞尔（英语：Fritz Ursell）^[1]。

波的特性

厄塞尔数是推导自史托克波（英语：Stokes wave），一个针对非线性周期波的摄动序列，在浅水（英语：waves and shallow water）的长波极限－其波长远大于水深时，Ursell数U可以定义如下：

${\displaystyle U\,=\,{\frac {H}{h}}\left({\frac {\lambda }{h}}\right)^{2}\,=\,{\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}},}$

若不考虑常数3 / (32 π²)的话，上述公式就是自由表面提升振幅中，二次项和一次项的比例，^[2] 有用到的参数有

• H：波高（英语：Wave height），也就是波峰和波谷之间的高度差。
• h：平均水深
• λ：波长，需远大于深度，也就是λ ≫ h.

因此厄塞尔数U是相对波高H / h乘以相对波长的平方。

针对厄塞尔数小（U ≪ 32 π² / 3 ≈ 100）的长波（λ ≫ h）^[3]，可以用线性的波理论求解。否则（多半是通常）若针对比较长的波（λ > 7 h）^[4]，需使用像KdV方程或博欣内斯克方程等非线性的理论。此参数（经过不同的正规化）已由乔治·斯托克斯写在他1847年的表面重力波论文中^[5]。

脚注

1. Ursell, F. The long-wave paradox in the theory of gravity waves. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 49 (4): 685–694. Bibcode:1953PCPS...49..685U. doi:10.1017/S0305004100028887.
2. Dingemans (1997), Part 1, §2.8.1, pp. 182–184.
3. This factor is due to the neglected constant in the amplitude ratio of the second-order to first-order terms in the Stokes' wave expansion. See Dingemans (1997), p. 179 & 182.
4. Dingemans (1997), Part 2, pp. 473 & 516.
5. Stokes, G. G. On the theory of oscillatory waves. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 1847, 8: 441–455.
   Reprinted in: Stokes, G. G. Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. 1880: 197–229.

参考资料

• Dingemans, M. W. Water wave propagation over uneven bottoms. Advanced Series on Ocean Engineering 13. Singapore: World Scientific. 1997. ISBN 981-02-0427-2. In 2 parts, 967 pages.
• Svendsen, I. A. Introduction to nearshore hydrodynamics. Advanced Series on Ocean Engineering 24. Singapore: World Scientific. 2006. ISBN 981-256-142-0. 722 pages.