顺序统计量

在统计学中，样本的第${\displaystyle k}$顺序统计量（英语：Order Statistics）即它从小到大排列时的第${\displaystyle k}$个值，常用于非参数估计与推断中。常见的顺序统计量包括样本的最大值、最小值、中位数等。

记号

任给样本${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$，将其从小到大排成一列，记为：$${\displaystyle x_{(1)},x_{(2)},\cdots ,x_{(n)}.}$$则其第一顺序统计量（即最小值）为${\displaystyle x_{(1)}}$，第${\displaystyle n}$顺序统计量（即最大值）为${\displaystyle x_{(n)}}$。

概率

随机变量${\displaystyle X_{(k)}}$的累积分布函数${\displaystyle F_{k}(x)}$由下式给出^[1]$${\displaystyle F_{k}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}(F(x))^{j}(1-F(x))^{n-j},\quad x\in \mathbb {R} ,}$$ 将累积分布函数求导可得其概率密度函数${\displaystyle f_{k}(x)}$为 $${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}(F(x))^{k-1}(1-F(x))^{n-k}f(x),\quad x\in \mathbb {R} .}$$

连续均匀样本

从单位区间上的连续型均匀分布取得的样本，其各顺序统计量的边缘分布属于Β分布族。此外，任意几个顺序统计量的联合分布也有简单的表示。本节将作介绍。藉赖累积分布函数（cdf），该些结果亦可推广到任意连续分布。

本节中，${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$表示以${\displaystyle F_{X}}$为cdf的一组随机样本。记${\displaystyle U_{i}=F_{X}(X_{i})}$，则${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$是从标准连续均匀分布抽取的对应样本。由${\displaystyle F_{X}}$的单调性，后者的顺序统计量为${\displaystyle U_{(i)}=F_{X}(X_{(i)})}$。

顺序统计量${\displaystyle U_{(k)}}$的概率密度函数（pdf）等于^[2]

${\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}(1-u)^{n-k}.}$

换言之，均匀分布的第${\displaystyle k}$顺序统计量遵循Β分布^[2][3]

${\displaystyle U_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n+1\mathbf {-} k).}$

证明如下：欲使${\displaystyle U_{(k)}}$介乎${\displaystyle u}$与${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$之间，样本须恰有${\displaystyle k-1}$个元素小于${\displaystyle u}$，并至少有一个介乎${\displaystyle u}$与${\displaystyle u+\mathrm {d} u}$之间。该区间包含多于一个元素的概率已是${\displaystyle O(\mathrm {d} u^{2})}$（使用了大O符号），故只需计算${\displaystyle (0,u)}$、${\displaystyle (u,u+du)}$、${\displaystyle (u+du,1)}$三区间分别恰有${\displaystyle k-1}$、${\displaystyle 1}$、${\displaystyle n-k}$个元素的概率。此即三项分布（英语：multinomial distribution）概率

${\displaystyle {n! \over (k-1)!(n-k)!}u^{k-1}\cdot \mathrm {d} u\cdot (1-u-\mathrm {d} u)^{n-k},}$

故上述pdf公式成立。该分布的平均值为${\displaystyle k/(n+1)}$。

参考文献

1. Order Statistics. www.math.uah.edu. [2016-07-28]. （原始内容存档于2017-08-13）.
2. Gentle, James E. Computational Statistics. Springer. 2009: 63. ISBN 9780387981444 （英语）.
3. Jones, M. C. Kumaraswamy's distribution: A beta-type distribution with some tractability advantages. Statistical Methodology. 2009, 6 (1): 70–81. doi:10.1016/j.stamet.2008.04.001. As is well known, the beta distribution is the distribution of the m’th order statistic from a random sample of size n from the uniform distribution (on (0,1)).